Uma pedra é atirada por uma catapulta no tempo t=0, com uma velocidade inicial de módulo 70 \mathrm{Km} / \mathrm{h} fazendo um ângulo de 30,0^{\circ} com a horizontal. Use g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Quais são os valores dos médulas, direções e os sentidos da velocidade em \mathrm{m} / \mathrm{s} para t=1 s;

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (vou listar bem claro o que temos e o que a questão pede):
  • Velocidade inicial: \;70\\ \mathrm{km/h}.
  • Direção inicial: ângulo \;30,0^\circ com a horizontal.
  • Aceleração da gravidade: \;g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Tempo em que queremos a velocidade: \;t=1\\ \mathrm{s}.
O que a questão pede: encontrar, em \mathrm{m/s}, o módulo (tamanho), a direção (ângulo em relação à horizontal) e o sentido (para onde aponta, por exemplo: para a direita/para cima/para baixo) da velocidade no instante \;t=1\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Primeiro passo prático: converter a velocidade inicial para \mathrm{m/s}. Explico por que: as fórmulas de movimento usam unidades do SI, então precisamos de \mathrm{m/s}. A conversão é multiplicar por \;1000/3600=5/18.
A conta:
v_0 = 70\cdot\frac{5}{18}=\frac{350}{18}=\frac{175}{9}\\ \mathrm{m/s}\approx 19,444\\ \mathrm{m/s}.
(Dica amigável: decorar 1\\ \mathrm{km/h}=5/18\\ \mathrm{m/s} salva tempo na prova.)

Passo 3

Agora decompomos a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Porque? É mais fácil tratar movimento em x e y separadamente: a componente horizontal não sofre aceleração (sem resistência do ar) e a vertical sofre aceleração -g.
As fórmulas de decomposição (explicando cada símbolo):
  • \;v_{0x}=v_0\cos\theta, onde \;v_{0x} é a componente horizontal e \theta é o ângulo com a horizontal.
  • \;v_{0y}=v_0\sin\theta, onde \;v_{0y} é a componente vertical.
Substituindo \;v_0=\frac{175}{9} e \theta=30^\circ (sabemos que \cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2} e \sin30^\circ=\frac{1}{2}):
v_{0x}=\frac{175}{9}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{175\sqrt{3}}{18}\\ \mathrm{m/s}\approx 16,8394\\ \mathrm{m/s},
v_{0y}=\frac{175}{9}\cdot\frac{1}{2}=\frac{175}{18}\\ \mathrm{m/s}\approx 9,7222\\ \mathrm{m/s}.
(Interpretação: a pedra parte para a direita com \approx 16{,}84\\ \mathrm{m/s} horizontalmente e para cima com \approx 9{,}72\\ \mathrm{m/s} verticalmente.)

Passo 4

Equações do movimento para velocidade (movimento com aceleração constante, explicando cada termo):
  • Horizontal: \;v_x(t)=v_{0x} (porque não há aceleração horizontal).
  • Vertical: \;v_y(t)=v_{0y}-g\,t (porque a gravidade reduz a componente vertical, sendo negativa quando apontando para baixo).
Essas fórmulas servem para qualquer instante t enquanto ignoramos resistência do ar.

Passo 5

Aplicar as fórmulas em t=1\\ \mathrm{s}.
Componente horizontal (permanece igual):
v_x(1)=v_{0x}=\frac{175\sqrt{3}}{18}\\ \mathrm{m/s}\approx 16,8394\\ \mathrm{m/s}.
Componente vertical:
v_y(1)=\frac{175}{18}-9,8.
Fazendo a conta exata com os números dados:
\frac{175}{18}-9,8=\frac{175-9{,}8\cdot 18}{18}=\frac{175-176{,}4}{18}=\frac{-1{,}4}{18}=-\frac{7}{90}\\ \mathrm{m/s}\approx -0,07778\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: a componente vertical já é negativa — isso significa que, no instante 1\\ \mathrm{s}, a pedra está começando a cair (componente vertical apontando para baixo), embora muito lentamente (quase zero).

Passo 6

Agora calculamos o módulo (tamanho) da velocidade resultante no instante t=1\\ \mathrm{s}. Fórmula do módulo de um vetor em 2D (explico: pitagoras nos dá o comprimento do vetor a partir das componentes):
\lVert \vec{v}(1)\rVert=\sqrt{v_x(1)^2+v_y(1)^2}.
Usando os valores exatos que encontramos:
v_x(1)^2=\left(\frac{175\sqrt{3}}{18}\right)^2=\frac{30625\cdot 3}{324}=\frac{91875}{324},
v_y(1)^2=\left(-\frac{7}{90}\right)^2=\frac{49}{8100}.
Somando e extraindo raiz (farei a aproximação final):
\lVert \vec{v}(1)\rVert=\sqrt{\frac{91875}{324}+\frac{49}{8100}}\approx 16{,}84\\ \mathrm{m/s}.
(Comentário: o módulo ficou praticamente igual à componente horizontal porque a componente vertical é muito pequena em módulo.)

Passo 7

Direção e sentido: para achar o ângulo relativo à horizontal usamos a tangente (explico: a tangente do ângulo é razão entre componente vertical e horizontal):
\alpha=\arctan\!\left(\frac{v_y(1)}{v_x(1)}\right).
Substituindo os valores numéricos:
\frac{v_y(1)}{v_x(1)}\approx\frac{-0{,}0777778}{16{,}8394}\approx -0{,}0046189,
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\alpha\approx \arctan(-0{,}0046189)\approx -0{,}265^\circ.
Interpretação do sinal e do valor:
  • O ângulo é pequeno (próximo de zero) e negativo, isto é, a velocidade aponta um pouquinho para baixo em relação à horizontal. É comum descrever isso como 0{,}265^\circ abaixo da horizontal.
  • O sentido: como v_x(1)>0 a velocidade tem sentido para a direita; como v_y(1)<0 tem sentido para baixo. Assim: para a direita e ligeiramente para baixo.

Resposta

Módulo: \;16{,}84\\ \mathrm{m/s}
Direção: \;0{,}265^\circ abaixo da horizontal
Sentido: para a direita (componente horizontal positiva) e para baixo (componente vertical negativa)

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