Uma pedra é atirada por uma catapulta no tempo
, com uma velocidade inicial de módulo
fazendo um ângulo de
com a horizontal. Use
. Quais são os valores dos médulas, direções e os sentidos da velocidade em
para
;
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados (vou listar bem claro o que temos e o que a questão pede):
- Velocidade inicial:
. - Direção inicial: ângulo
com a horizontal. - Aceleração da gravidade:
. - Tempo em que queremos a velocidade:
.
O que a questão pede: encontrar, em
, o módulo (tamanho), a direção (ângulo em relação à horizontal) e o sentido (para onde aponta, por exemplo: para a direita/para cima/para baixo) da velocidade no instante
.
Passo 2
Primeiro passo prático: converter a velocidade inicial para
. Explico por que: as fórmulas de movimento usam unidades do SI, então precisamos de
. A conversão é multiplicar por
.
A conta:
(Dica amigável: decorar
salva tempo na prova.)
Passo 3
Agora decompomos a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Porque? É mais fácil tratar movimento em
e
separadamente: a componente horizontal não sofre aceleração (sem resistência do ar) e a vertical sofre aceleração
.
As fórmulas de decomposição (explicando cada símbolo):
-
, onde é a componente horizontal e é o ângulo com a horizontal. -
, onde é a componente vertical.
Substituindo
e
(sabemos que
e
):
(Interpretação: a pedra parte para a direita com
horizontalmente e para cima com
verticalmente.)
Passo 4
Equações do movimento para velocidade (movimento com aceleração constante, explicando cada termo):
- Horizontal:
(porque não há aceleração horizontal). - Vertical:
(porque a gravidade reduz a componente vertical, sendo negativa quando apontando para baixo).
Essas fórmulas servem para qualquer instante
enquanto ignoramos resistência do ar.
Passo 5
Aplicar as fórmulas em
.
Componente horizontal (permanece igual):
Componente vertical:
Fazendo a conta exata com os números dados:
Interpretação: a componente vertical já é negativa — isso significa que, no instante
, a pedra está começando a cair (componente vertical apontando para baixo), embora muito lentamente (quase zero).
Passo 6
Agora calculamos o módulo (tamanho) da velocidade resultante no instante
. Fórmula do módulo de um vetor em 2D (explico: pitagoras nos dá o comprimento do vetor a partir das componentes):
Usando os valores exatos que encontramos:
Somando e extraindo raiz (farei a aproximação final):
(Comentário: o módulo ficou praticamente igual à componente horizontal porque a componente vertical é muito pequena em módulo.)
Passo 7
Direção e sentido: para achar o ângulo relativo à horizontal usamos a tangente (explico: a tangente do ângulo é razão entre componente vertical e horizontal):
Substituindo os valores numéricos:
logo
Interpretação do sinal e do valor:
- O ângulo é pequeno (próximo de zero) e negativo, isto é, a velocidade aponta um pouquinho para baixo em relação à horizontal. É comum descrever isso como
abaixo da horizontal. - O sentido: como
a velocidade tem sentido para a direita; como tem sentido para baixo. Assim: para a direita e ligeiramente para baixo.
Resposta
Módulo:
Direção: abaixo da horizontal
Sentido: para a direita (componente horizontal positiva) e para baixo (componente vertical negativa)
Direção:
Sentido: para a direita (componente horizontal positiva) e para baixo (componente vertical negativa)