Para fornecer uma descrição posicional do estado de um sistema quântico com duas partículas em uma dimensão, podemos usar 2 pontos
a) duas funções de onda
u_2
, uma para cada partícula.
b) uma única função de onda
, x2), dependendo de duas variáveis de posição.
c) duas funções de onda,
e
, cada uma dependendo de duas variáveis.
d) A) ou b).
b) uma única função de onda
c) duas funções de onda,
d) A) ou b).
Passo 1
O enunciado pede que a gente escolha a descrição posicional correta do estado quântico de um sistema com duas partículas em uma dimensão. As alternativas fornecidas são:
a) duas funções de onda
e
, uma para cada partícula.
b) uma única função de onda , dependendo de duas variáveis de posição.
c) duas funções de onda, e
, cada uma dependendo de duas variáveis.
d) A) ou B).
b) uma única função de onda
c) duas funções de onda,
d) A) ou B).
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas): o objetivo é descrever completamente a posição das duas partículas (estado posicional) — ou seja, queremos uma função que permita calcular probabilidades de encontrar cada partícula em certas posições. Não há indicação de que as partículas sejam independentemente preparadas em estados separados nem de que sejam distintas ou idênticas; portanto a resposta deve ser válida de forma geral.
Passo 2
O que significa “função de onda posicional” para uma partícula?
- Para uma partícula em 1D usamos uma função
tal que é a probabilidade de encontrar a partícula entre e . - A normalização exige
Agora para duas partículas em 1D, a generalização natural é uma função que descreva a probabilidade conjunta de localização das duas partículas. Essa função é uma função de duas variáveis de posição:
. A interpretação probabilística é
é a probabilidade de encontrar a partícula 1 entre
e
e a partícula 2 entre
e
. A normalização geral é
Passo 3
Por que uma única função
é a descrição correta em geral?
- Formalmente, o espaço de estados de duas partículas é o produto tensório dos espaços de cada partícula; na representação de posição isso vira o espaço de funções de duas variáveis
. - Uma forma especial de
é o produto de duas funções de uma variável:
Nesse caso dizemos que o estado é separável (produto) e então é suficiente especificar as duas funções
e
. Note como a normalização se factoriza:
Mas isso é um caso especial, não o caso geral.
Passo 4
Mostre que nem todo estado pode ser escrito como produto de duas funções de uma variável (ou seja, duas funções
e
como na alternativa a) nem sempre bastam). Um exemplo didático de estado não-separável (entrelaçado) é
onde
e
são estados ortonormais de uma partícula. Esse estado é um superposição que correlaciona as posições: se a partícula 1 está em um modo parecido com
, então a partícula 2 tende a estar como
, e vice-versa. Não existe um par
tal que
(pode-se provar por argumentos de linearidade e ortonormalidade; intuitivamente, porque a soma de produtos impossibilita fatoração única). Portanto a descrição por duas funções de uma variável falha para estados entrelaçados, que são fisicamente importantes.
Passo 5
Explique por que as alternativas são (in)corretas:
- a) Incorreta em geral: fornece apenas dois estados de partícula individual
e . Isso descreve corretamente apenas estados separáveis (produtos). Não descreve estados entrelaçados. - b) Correta em geral:
contém toda a informação posicional conjunta e permite descrever tanto estados separáveis quanto entrelaçados. Além disso, a probabilidade conjunta e todas as quantidades observáveis que dependem das posições são extraídas de . - c) Incorreta / mal formulada: escrever duas funções
e cada uma dependendo de duas variáveis não é a maneira padrão nem necessária de representar o estado; parece redundante e confuso. A informação completa pode (e deve) ser contida numa única . - d) Incorreta, porque a alternativa a) não é equivalente à b) em geral (é só um caso especial).
Passo 6
Comentário extra importante (útil para prova, não assuste): se as partículas são idênticas você ainda usa a mesma
, mas impõe condição de simetria:
- para bósons:
; - para férmions:
.
Isso mostra que mesmo para partículas idênticas a descrição padrão é a função de duas variáveis com a propriedade de simetrização/anti-simetrização correspondente — e não duas funções unicamente separadas.
Passo 7
Resumo prático para a prova (decoração mental): sempre que houver dois graus de liberdade (a posição de cada partícula) a representação posicional geral é uma função que depende de ambas as coordenadas. Só nos casos especiais (produto de estados, sem correlação) você pode reduzir para duas funções independentes.
Resposta
b