Calcular a velocidade terminal de um octaedro regular (aresta= 3 mm ) que cai sob a ação do campo gravitacional terrestre em álcool etílico 95 \% a 20^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm . Usar dados tanto da correlação \mathrm{C}_{\mathrm{D}} \mathrm{X} \operatorname{Re}_{\mathrm{p}}, \varphi quanto da de Coelho e Massarani (1996).
Dados: \mu\left(20^{\circ} \mathrm{C}\right)=1,4.10^{-3} Pa.s , \rho\left(20^{\circ} \mathrm{C}\right)=424 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}, \rho_{\mathrm{s}}=3800 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pedido: calcular a velocidade terminal do octaedro regular com aresta a=3\\ \text{mm} caindo em álcool etílico 95\% a 20^\circ\mathrm{C} e 1 atm, usando (a) uma correlação do tipo \mathrm{C_D}(\mathrm{Re}_p,\varphi) e (b) a correlação de Coelho & Massarani (1996).
  • Dados numéricos fornecidos:
    • aresta: a=3\\ \text{mm}=0{,}003\\ \text{m}.
    • viscosidade dinâmica do fluido: \mu(20^\circ\mathrm{C})=1{,}4\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    • densidade do fluido: \rho(20^\circ\mathrm{C})=424\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • densidade do sólido: \rho_s=3800\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • aceleração da gravidade: vou usar g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Observações importantes que vão guiar a resolução (não são perguntas, apenas deixo claro o que vamos precisar):
  • Para obter a velocidade terminal precisamos fazer o balanço entre peso efetivo (peso menos empuxo) e a força de arrasto que depende de \mathrm{C_D}, área de projeção e velocidade.
  • \mathrm{C_D} depende do número de Reynolds da partícula \mathrm{Re}_p e da forma (especificamente da esfericidade \varphi ou outro parâmetro de forma). Portanto a solução exige uma iteração (porque \mathrm{Re}_p depende da própria velocidade terminal).
  • O enunciado pede que se usem duas correlações: uma genérica \mathrm{C_D}(\mathrm{Re}_p,\varphi) e a de Coelho & Massarani (1996). Para a correlação genérica vou usar uma forma prática (explicada e justificada no Passo 5). Para a de Coelho & Massarani: preciso da expressão matemática explícita dessa correlação para calcular numericamente; não tenho acesso direto ao enunciado dessa correlação no enunciado que você me passou. Vou explicar isso com clareza mais adiante (Passo 7) e indicar o que seria necessário para executar o cálculo com essa correlação específica.

Passo 2

Geometria do octaedro regular: volume, área de superfície, diâmetro equi‑volumétrico e esfericidade \varphi.
  1. Volume de um octaedro regular de aresta a:
V = \frac{\sqrt{2}}{3}\,a^{3}.
Substituindo a=0{,}003\\ \mathrm{m}:
a^{3}=(0{,}003)^{3}=2{,}7\times10^{-8}\\ \mathrm{m^3},
V=\frac{\sqrt{2}}{3}\cdot 2{,}7\times10^{-8}\approx 0{,}4714045\cdot 2{,}7\times10^{-8}\approx 1{,}27279\times10^{-8}\\ \mathrm{m^3}.
  1. Área de superfície do octaedro regular:
    Cada face é um triângulo equilátero com área \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2} e há 8 faces, então
S = 8\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}=2\sqrt{3}\,a^{2}.
Substituindo:
a^{2}=(0{,}003)^{2}=9\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2},
S=2\sqrt{3}\cdot 9\times10^{-6}\approx 3{,}4641016\cdot9\times10^{-6}\approx 3{,}11769\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.
  1. Diâmetro volumétrico equivalente d_v (diâmetro da esfera de mesmo volume):
d_v = \left(\frac{6V}{\pi}\right)^{1/3}.
Usando o V calculado:
d_v \approx 2{,}892\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=2{,}892\\ \text{mm}.
(isto equivale a d_v = 2r onde r é \big(3V/(4\pi)\big)^{1/3}.)
  1. Área de projeção equivalente (esfera de mesmo volume), que é usada frequentemente nas correlações:
A = \frac{\pi d_v^{2}}{4}.
Com d_v acima:
d_v^{2}\approx(2{,}892\times10^{-3})^{2}\approx 8{,}365\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2},
A\approx \pi\cdot \frac{8{,}365\times10^{-6}}{4}\approx 6{,}5695\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2}.
  1. Esfericidade \varphi (razão entre a área da esfera de mesmo volume e a área real do sólido):
    Fórmula geral:
\varphi = \frac{\text{área da esfera de mesmo volume}}{S}=\frac{4\pi r^{2}}{S},á
onde r=(3V/(4\pi))^{1/3}. Ou equivalentemente
\varphi = \frac{\pi^{1/3}(6V)^{2/3}}{S}.
Substituindo valores já calculados:
\text{área esfera} \approx 4\pi r^{2}\approx 2{,}628\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2},á
\varphi \approx \frac{2{,}628\times10^{-5}}{3{,}11769\times10^{-5}}\approx 0{,}8435.
Resumo numérico que usaremos adiante:
V\approx 1{,}27279\times10^{-8}\\ \mathrm{m^3},\qquad S\approx 3{,}11769\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2},
d_v\approx 2{,}892\times10^{-3}\\ \mathrm{m},\qquad A\approx 6{,}5695\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2},\qquad \varphi\approx 0{,}8435.

Passo 3

Equação de balanço de forças e definição de Reynolds da partícula.
  • Força peso efetiva (peso menos empuxo):
F_g = (\rho_s-\rho)\,V\,g.
  • Força de arrasto (assumindo forma clássica com coeficiente de arrasto \mathrm{C_D} e área de referência A):
F_D = \tfrac{1}{2}\,\rho\,\mathrm{C_D}\,A\,v_t^2.
  • Equilíbrio para velocidade terminal v_t:
(\rho_s-\rho)\,V\,g = \tfrac{1}{2}\,\rho\,\mathrm{C_D}\,A\,v_t^2.
Dessa equação isolamos v_t em função de \mathrm{C_D}:
v_t = \sqrt{\frac{2(\rho_s-\rho)Vg}{\rho\,\mathrm{C_D}\,A}}.
Mas \mathrm{C_D} depende de \mathrm{Re}_p, e
\mathrm{Re}_p = \frac{\rho\,d_v\,v_t}{\mu}.
Portanto devemos resolver essas duas equações acopladas por iteração: dado um chute para \mathrm{C_D} (ou v_t), calcular \mathrm{Re}_p, obter nova \mathrm{C_D}(\mathrm{Re}_p,\varphi), recalcular v_t, e iterar até convergência.
Vou explicar uma estratégia prática de solução que se usa em prova/recorte prático:
  1. Calcular um chute inicial para v_t usando a lei de Stokes (válida para \mathrm{Re}_p\ll1) para começar a iteração:
v_{t,\text{Stokes}}=\frac{(\rho_s-\rho)g\,d_v^{2}}{18\mu}.
  1. A partir desse chute calcula-se \mathrm{Re}_p e usa-se a correlação escolhida \mathrm{C_D}(\mathrm{Re}_p,\varphi) para obter novo v_t via a fórmula do balanço.
  2. Repetir até que v_t (ou \mathrm{Re}_p) converge.

Passo 4

Cálculo do chute inicial (Stokes) — explicando a fórmula e avaliando sua validade.
  • Fórmula de Stokes (regime laminar, esfera):
v_{t,\text{Stokes}}=\frac{(\rho_s-\rho)\,g\,d_v^{2}}{18\mu}.
Aqui d_v é o diâmetro característico (usamos o diâmetro volumétrico). Essa fórmula é derivada de igualar peso efetivo com a força de arrasto de Stokes F_D = 3\pi\mu d v (para esfera). Ela só é válida para \mathrm{Re}_p\ll1, mas serve como chute inicial de iteração.
Substituindo números:
(\rho_s-\rho)=3800-424=3376\\ \mathrm{kg/m^3},
d_v\approx 2{,}892\times10^{-3}\\ \mathrm{m},\qquad d_v^{2}\approx 8{,}365\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2},
\mu=1{,}4\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Então
v_{t,\text{Stokes}}=\frac{3376\cdot 9{,}81\cdot 8{,}365\times10^{-6}}{18\cdot 1{,}4\times10^{-3}}.
Faço as contas passo a passo:
  • Numerador: 3376\cdot 9{,}81\approx 33118{,}6. Multiplicando por 8{,}365\times10^{-6} \approx 0{,}27716.
  • Denominador: 18\cdot1{,}4\times10^{-3}=0{,}0252.
  • Resultado:
v_{t,\text{Stokes}}\approx \frac{0{,}27716}{0{,}0252}\approx 11{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Comentário didático: esse valor é extremamente grande e claramente incompatível com a hipótese de \mathrm{Re}_p\ll1. Portanto a lei de Stokes NÃO é válida aqui; porém serve como um chute inicial para a iteração que usaremos com uma correlação empírica apropriada que cobre a transição/fluxo inercial.

Passo 5

Cálculo usando uma correlação prática \mathrm{C_D}(\mathrm{Re}_p,\varphi): método adotado e iteração numérica.
Nota importante (transparência): o enunciado pede uso de “a correlação \mathrm{C_D}\times\mathrm{Re}_p,\varphi”. Há várias correlações desse tipo na literatura (Ganser, Haider & Levenspiel, etc.). Para ser concreto e executável aqui, vou adotar uma estratégia prática e muito usada em provas: usar a correlação clássica de Schiller–Naumann para esferas para obter \mathrm{C_D_{esfera}}(\mathrm{Re}_p) e aplicar uma correção de forma simples que depende da esfericidade \varphi. Essa é uma aproximação didática comum quando se pede “usar correlação \mathrm{C_D}(\mathrm{Re}_p,\varphi)” e não se especifica a fórmula exata. A correção que vou usar é multiplicar o \mathrm{C_D} do esfera por um fator aproximado 1/\varphi (ou seja, \mathrm{C_D}\approx \mathrm{C_D_{esfera}}/\varphi). Justificação intuitiva: corpos menos esféricos tendem a apresentar arrasto maior aproximadamente proporcional a uma função crescente com 1/\varphi; o fator 1/\varphi é uma aproximação simples e razoável para ordem de grandeza quando \varphi não é muito pequeno (aqui \varphi\approx0{,}84).
  • Correlação de Schiller–Naumann (válida até \mathrm{Re}\lesssim 1000 aproximadamente):
\mathrm{C_{D,sf}}(\mathrm{Re}_p) = \frac{24}{\mathrm{Re}_p}\left(1+0{,}15\,\mathrm{Re}_p^{0{,}687}\right).
  • Correção de forma adotada:
\mathrm{C_D} \approx \frac{\mathrm{C_{D,sf}}}{\varphi}.
Agora aplico a iteração numérica com este procedimento:
  1. Chute inicial: v^{(0)} = v_{t,\text{Stokes}}\approx 11{,}0\\ \mathrm{m/s} (usado apenas para começar; rapidamente ficará incoerente).
  2. Iteração: para cada iteração k:
    • calcular \mathrm{Re}_p^{(k)} = \dfrac{\rho\,d_v\,v^{(k)}}{\mu};
    • calcular \mathrm{C_{D,sf}}(\mathrm{Re}_p^{(k)}) pela Schiller–Naumann;
    • obter \mathrm{C_D}^{(k)} = \mathrm{C_{D,sf}}/\varphi;
    • calcular v^{(k+1)} = \sqrt{\dfrac{2(\rho_s-\rho)Vg}{\rho\,\mathrm{C_D}^{(k)}\,A}}.
    • repetir até convergir v.
Faço as primeiras iterações (mostro contas arredondadas para manter legibilidade; o procedimento de prova deve mostrar o raciocínio e 2–4 iterações geralmente bastam):
Iteração 0 (apenas para início, mas já é muito grande):
  • v^{(0)}=11{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • \mathrm{Re}_p^{(0)}=\dfrac{424\cdot 2{,}892\times10^{-3}\cdot 11{,}0}{1{,}4\times10^{-3}}
    • Calculo intermediário: 424\cdot 2{,}892\times10^{-3}\approx 1{,}226.
    • Multiplicando por 11{,}0 \approx 13{,}486.
    • Dividindo por 1{,}4\times10^{-3} \mathrm{Re}_p^{(0)}\approx 9633 (muito alto).
  • Schiller–Naumann não é apropriado tão alto, então melhor usando o chute com valor menor. Vou pular para a primeira iteração prática usando um valor razoável inicial v^{(1)}=0{,}8\\ \mathrm{m/s} (motivação: fiz uma estimativa rápida com C_D\approx0{,}44 e obtive v\approx0{,}83\\ \mathrm{m/s} — ver raciocínio no comentário anterior; é um chute físico razoável).
Iteração 1 (chute v^{(1)}=0{,}8\\ \mathrm{m/s}):
  • \mathrm{Re}_p^{(1)}=\dfrac{424\cdot 2{,}892\times10^{-3}\cdot 0{,}8}{1{,}4\times10^{-3}} \approx \dfrac{1{,}226\cdot 0{,}8}{1{,}4\times10^{-3}}\approx \dfrac{0{,}9808}{1{,}4\times10^{-3}}\approx 700.
  • \mathrm{C_{D,sf}}(\mathrm{Re}_p^{(1)})=\dfrac{24}{700}\big(1+0{,}15\cdot 700^{0{,}687}\big).
    • Calculo 700^{0{,}687}: \ln 700\approx 6{,}551,\\\ 0{,}687\cdot 6{,}551\approx 4{,}499,\\ \exp(4{,}499)\approx 89{,}9.
    • Então 1+0{,}15\cdot 89{,}9\approx 1+13{,}485=14{,}485.
    • \dfrac{24}{700}\approx 0{,}034286. Multiplicando: \mathrm{C_{D,sf}}\approx 0{,}034286\cdot 14{,}485\approx 0{,}4965.
  • Aplicando correção de forma: \mathrm{C_D}^{(1)}\approx \dfrac{0{,}4965}{0{,}8435}\approx 0{,}5889.
  • Novo v^{(2)} pela fórmula do balanço: v^{(2)}=\sqrt{\dfrac{2(\rho_s-\rho)Vg}{\rho\\ \mathrm{C_D}^{(1)}\\ A}}.
    • Já calculamos numerador constante N\equiv 2(\rho_s-\rho)Vg. Faço esse cálculo agora (valor constante):
      • (\rho_s-\rho)V = 3376\cdot 1{,}27279\times10^{-8}\approx 4{,}296\times10^{-5}.
      • Multiplicando por g=9{,}81 => \approx 4{,}217\times10^{-4}.
      • Multiplicando por 2 => N\approx 8{,}434\times10^{-4}.
    • Denominador D=\rho\\ \mathrm{C_D}^{(1)}\\ A \approx 424\cdot 0{,}5889\cdot 6{,}5695\times10^{-6}.
      • 424\cdot 0{,}5889\approx 249{,}8. Multiplicando por 6{,}5695\times10^{-6} => D\approx 1{,}641\times10^{-3}.
    • v^{(2)}=\sqrt{8{,}434\times10^{-4}/1{,}641\times10^{-3}}\approx \sqrt{0{,}5139}\approx 0{,}7169\\ \mathrm{m/s}.
Iteração 2:
  • Use v^{(2)}\approx 0{,}717\\ \mathrm{m/s}.
  • \mathrm{Re}_p^{(2)}\approx \dfrac{1{,}226\cdot 0{,}717}{1{,}4\times10^{-3}}\approx \dfrac{0{,}879}{1{,}4\times10^{-3}}\approx 628.
  • 700^{0{,}687} substituído por 628^{0{,}687}: calcular rápido dá algo em torno de \approx 83{,}5.
    • Assim 1+0{,}15\cdot83{,}5\approx 1+12{,}525=13{,}525.
    • \dfrac{24}{628}\approx 0{,}03822. \mathrm{C_{D,sf}}\approx 0{,}03822\cdot13{,}525\approx 0{,}517.
  • Correção de forma: \mathrm{C_D}^{(2)}\approx 0{,}517/0{,}8435\approx 0{,}6129.
  • Denominador D=\rho\\ \mathrm{C_D}^{(2)}\\ A \approx 424\cdot0{,}6129\cdot6{,}5695\times10^{-6}\approx 1{,}706\times10^{-3}.
  • Novo v^{(3)}=\sqrt{8{,}434\times10^{-4}/1{,}706\times10^{-3}}\approx\sqrt{0{,}4945}\approx 0{,}7032\\ \mathrm{m/s}.
Iteração 3:
  • v^{(3)}\approx 0{,}703\\ \mathrm{m/s}.
  • \mathrm{Re}_p^{(3)}\approx \dfrac{1{,}226\cdot0{,}703}{1{,}4\times10^{-3}}\approx 615.
  • Avaliando a Schiller–Naumann em \mathrm{Re}\approx 615 \mathrm{C_{D,sf}}\approx 0{,}516 (valor muito próximo do anterior).
  • Correção de forma queda pouco: \mathrm{C_D}^{(3)}\approx 0{,}516/0{,}8435\approx 0{,}6118.
  • Recalcula v^{(4)} e obtém v^{(4)}\approx 0{,}702\\ \mathrm{m/s}.
Convergência atingida em torno de
v_t \approx 0{,}70\\ \mathrm{m/s}.
Resumo dos valores convergentes:
v_t \approx 0{,}70\\ \mathrm{m/s},\qquad \mathrm{Re}_p\approx 610\text{--}630,\qquad \mathrm{C_D}\approx 0{,}61.
Comentário didático: esse resultado foi obtido usando a correlação de Schiller–Naumann para esferas combinada com a correção simples 1/\varphi. Essa é uma aproximação prática e razoável para estimar ordens de grandeza quando \varphi está na faixa de 0{,}8\text{–}1. Existem correlações mais sofisticadas (Ganser, Haider & Levenspiel, etc.) que incorporam explicitamente \varphi de forma diferente e geralmente fornecem valores similares dentro de 10–30% dependendo do formato. Portanto o valor numérico acima é um resultado estimado com justificação.

Passo 6

Validade do resultado e interpretação física.
  • O número de Reynolds obtido ( \mathrm{Re}_p\approx 620) indica que o regime é inercial (nem laminar de Stokes nem totalmente turbulento extremo): portanto o uso de correlações empíricas que cobrem a faixa intermediária (como Schiller–Naumann ou Ganser) é adequado.
  • A correção por esfericidade 1/\varphi é uma aproximação simples: partículas não esféricas tipicamente apresentam arrasto maior que esferas equivalentes; para nosso octaedro com \varphi\approx0{,}8435 o fator \sim1{,}19 (ou seja, aumento de arrasto em torno de 19%) é razoável e leva a redução de velocidade terminal comparada à esfera de mesmo volume.
  • Erro esperado: usando correlações mais refinadas a velocidade pode variar tipicamente ±20% em torno do valor aqui obtido.

Passo 7

Sobre a correlação de Coelho & Massarani (1996).
  • Transparência necessária: para calcular numericamente com a correlação de Coelho & Massarani (1996) preciso da expressão matemática explícita dessa correlação (fórmula que dá \mathrm{C_D} em função de \mathrm{Re}_p e de parâmetros de forma como \varphi). O enunciado mencionou essa correlação, mas não forneceu a expressão numérica/formulada nem tabelas associadas.
  • Sem essa expressão não é possível produzir um valor numérico baseado exatamente nessa correlação. Inventar a fórmula não é adequado. Se você me fornecer a forma matemática da correlação (ou me autorizar a usar uma correlação específica conhecida como Ganser ou Haider & Levenspiel em lugar de Coelho & Massarani), eu executo a iteração e dou o valor numérico com o mesmo nível de detalhamento que dei para a correlação anterior.
  • Alternativa prática: muitas aplicações usam Ganser (1993) ou Haider & Levenspiel (1989) para \mathrm{C_D}(\mathrm{Re}_p,\varphi); se quiser, eu posso repetir a iteração usando Ganser ou Haider & Levenspiel e entregar o resultado. Mas preciso de sua autorização para escolher essa substituição, ou você pode colar aqui a fórmula de Coelho & Massarani e eu calculo imediatamente.

Resposta

Valor estimado usando uma correlação prática (Schiller–Naumann para esferas) corrigida por esfericidade ( \mathrm{C_D}\approx \mathrm{C_{D,sf}}/\varphi): v_t \approx 0{,}70\\ \mathrm{m/s}.
Correlação de Coelho & Massarani (1996): não foi possível calcular porque a expressão matemática/exata dessa correlação não foi fornecida no enunciado; preciso da fórmula para executar a iteração numérica e dar o valor.

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