Desenvolver expressões para d_{p} e \varphi das seguintes partículas de geometria simples:
cubo de aresta L , vazado face a face por um furo de diâmetro \mathrm{L} / 2 perpendicular às faces
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre expressões para d_{p} e \varphi da partícula descrita. Dados fornecidos (peguei do enunciado):
Partícula: cubo de aresta L com um furo cilíndrico passando de face a face, perpendicular às faces.
Diâmetro do furo: L/2. Logo o raio do cilindro é r=L/4.
O eixo do cilindro atravessa o cubo de um lado ao outro, portanto o comprimento do cilindro é L.
As perguntas são:
calcular d_{p} (diâmetro da esfera equivalente em volume);
calcular \varphi (esfericidade = razão entre a área da esfera equivalente em volume e a área de superfície real da partícula).
Passo 2
Antes de calcular, vamos revisar o que cada grandeza significa e as fórmulas que vou usar (explicadas passo a passo).
Diâmetro de esfera equivalente em volume d_{p}.
Definição: é o diâmetro da esfera que tem o mesmo volume da partícula.
Volume de uma esfera de diâmetro d é \displaystyle V_{\text{esf}}=\frac{\pi}{6}d^{3}.
Para achar d_{p} a partir do volume da partícula V_{p} uso a igualdade \displaystyle \frac{\pi}{6}d_{p}^{3}=V_{p}.
Desse modo:
d_{p}=\left(\dfrac{6V_{p}}{\pi}\right)^{1/3}.
Expliquei: aqui V_{p} é o volume da partícula; resolve-se isolando d_{p} e tomando raiz cúbica.
Esfericidade \varphi.
Definição: razão entre a área de superfície da esfera de mesmo volume e a área de superfície real da partícula. Em símbolos,
\varphi=\dfrac{A_{\text{esf}}}{A_{p}}.
Área de uma esfera de diâmetro d é \displaystyle A_{\text{esf}}=\pi d^{2} (porque 4\pi r^{2}=4\pi (d/2)^{2}=\pi d^{2}).
Substituindo d=d_{p},
\varphi=\dfrac{\pi d_{p}^{2}}{A_{p}}.
Expliquei: aqui A_{p} é a área total da superfície da partícula (inclui a superfície interna do furo).
Agora que as fórmulas estão claras, calculo V_{p} e A_{p} para a geometria dada.
Passo 3
Calcular o volume da partícula V_{p}.
Volume do cubo: \displaystyle V_{\text{cubo}}=L^{3}.
Volume do cilindro perfurado (material removido): raio r=L/4, comprimento L, então
V_{\text{cil}}=\pi r^{2} \cdot L = \pi\left(\dfrac{L}{4}\right)^{2}L = \pi \dfrac{L^{3}}{16}.
Expliquei: subtrai-se do volume total do cubo o volume do cilindro que foi retirado.
Passo 4
Calcular a área de superfície da partícula A_{p}.
Parto da área do cubo sem furo e ajusto pelas remoções/adicionais causadas pelo furo.
Área do cubo sem furo: \displaystyle A_{\text{cubo}}=6L^{2}.
Nas duas faces por onde o cilindro atravessa há dois círculos que foram furados (cada um de área \pi r^{2}), portanto essas duas áreas planas deixam de existir na superfície externa do cubo. Soma das áreas removidas:
Para uma forma alternativa, posso simplificar a expressão do denominador: 6+\dfrac{3\pi}{8}=\dfrac{48+3\pi}{8}=\dfrac{3(16+\pi)}{8}. Mantendo a forma compacta: