Desenvolver expressões para d_{p} e \varphi das seguintes partículas de geometria simples:
cubo de aresta L , vazado face a face por um furo de diâmetro \mathrm{L} / 2 perpendicular às faces

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre expressões para d_{p} e \varphi da partícula descrita. Dados fornecidos (peguei do enunciado):
  • Partícula: cubo de aresta L com um furo cilíndrico passando de face a face, perpendicular às faces.
  • Diâmetro do furo: L/2. Logo o raio do cilindro é r=L/4.
  • O eixo do cilindro atravessa o cubo de um lado ao outro, portanto o comprimento do cilindro é L.
As perguntas são:
  • calcular d_{p} (diâmetro da esfera equivalente em volume);
  • calcular \varphi (esfericidade = razão entre a área da esfera equivalente em volume e a área de superfície real da partícula).

Passo 2

Antes de calcular, vamos revisar o que cada grandeza significa e as fórmulas que vou usar (explicadas passo a passo).
  1. Diâmetro de esfera equivalente em volume d_{p}.
  • Definição: é o diâmetro da esfera que tem o mesmo volume da partícula.
  • Volume de uma esfera de diâmetro d é \displaystyle V_{\text{esf}}=\frac{\pi}{6}d^{3}.
  • Para achar d_{p} a partir do volume da partícula V_{p} uso a igualdade \displaystyle \frac{\pi}{6}d_{p}^{3}=V_{p}.
  • Desse modo:
d_{p}=\left(\dfrac{6V_{p}}{\pi}\right)^{1/3}.
Expliquei: aqui V_{p} é o volume da partícula; resolve-se isolando d_{p} e tomando raiz cúbica.
  1. Esfericidade \varphi.
  • Definição: razão entre a área de superfície da esfera de mesmo volume e a área de superfície real da partícula. Em símbolos,
\varphi=\dfrac{A_{\text{esf}}}{A_{p}}.
  • Área de uma esfera de diâmetro d é \displaystyle A_{\text{esf}}=\pi d^{2} (porque 4\pi r^{2}=4\pi (d/2)^{2}=\pi d^{2}).
  • Substituindo d=d_{p},
\varphi=\dfrac{\pi d_{p}^{2}}{A_{p}}.
Expliquei: aqui A_{p} é a área total da superfície da partícula (inclui a superfície interna do furo).
Agora que as fórmulas estão claras, calculo V_{p} e A_{p} para a geometria dada.

Passo 3

Calcular o volume da partícula V_{p}.
  • Volume do cubo: \displaystyle V_{\text{cubo}}=L^{3}.
  • Volume do cilindro perfurado (material removido): raio r=L/4, comprimento L, então
V_{\text{cil}}=\pi r^{2} \cdot L = \pi\left(\dfrac{L}{4}\right)^{2}L = \pi \dfrac{L^{3}}{16}.
  • Volume da partícula (cubo com o furo removido):
V_{p}=V_{\text{cubo}}-V_{\text{cil}}=L^{3}-\pi\dfrac{L^{3}}{16}=L^{3}\left(1-\dfrac{\pi}{16}\right).
Expliquei: subtrai-se do volume total do cubo o volume do cilindro que foi retirado.

Passo 4

Calcular a área de superfície da partícula A_{p}.
Parto da área do cubo sem furo e ajusto pelas remoções/adicionais causadas pelo furo.
  • Área do cubo sem furo: \displaystyle A_{\text{cubo}}=6L^{2}.
  • Nas duas faces por onde o cilindro atravessa há dois círculos que foram furados (cada um de área \pi r^{2}), portanto essas duas áreas planas deixam de existir na superfície externa do cubo. Soma das áreas removidas:
2\pi r^{2}=2\pi\left(\dfrac{L}{4}\right)^{2}=2\pi\dfrac{L^{2}}{16}=\dfrac{\pi}{8}L^{2}.
  • Além disso existe a superfície lateral interna do cilindro (curva) que passa a fazer parte da superfície total da partícula: área lateral do cilindro
A_{\text{lat}}=2\pi r \cdot L = 2\pi\left(\dfrac{L}{4}\right)L = \dfrac{\pi}{2}L^{2}.
  • Então a área total da partícula é a área do cubo menos os dois discos mais a área lateral interna:
A_{p}=6L^{2}-\dfrac{\pi}{8}L^{2}+\dfrac{\pi}{2}L^{2}.
Agora somo os termos com \pi:
-\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{-\pi+4\pi}{8}=\dfrac{3\pi}{8}.
Portanto
A_{p}=L^{2}\left(6+\dfrac{3\pi}{8}\right).
Expliquei: a superfície externa do cubo perde os dois círculos abertos e ganha a superfície cilíndrica interna; somei e simplifiquei.

Passo 5

Calcular d_{p} substituindo V_{p} na fórmula de esfera equivalente.
  • Lembrete da fórmula:
d_{p}=\left(\dfrac{6V_{p}}{\pi}\right)^{1/3}.
  • Substituindo V_{p}=L^{3}\left(1-\dfrac{\pi}{16}\right):
d_{p}=\left(\dfrac{6L^{3}\left(1-\dfrac{\pi}{16}\right)}{\pi}\right)^{1/3} = L\left(\dfrac{6\left(1-\dfrac{\pi}{16}\right)}{\pi}\right)^{1/3}.
Posso reescrever 1-\dfrac{\pi}{16}=\dfrac{16-\pi}{16} se quiser:
d_{p}=L\left(\dfrac{6(16-\pi)}{16\pi}\right)^{1/3} = L\left(\dfrac{3(16-\pi)}{8\pi}\right)^{1/3}.
Expliquei: factorizei L^{3} para tirar L para fora da raiz cúbica.

Passo 6

Calcular a esfericidade \varphi.
  • Fórmula:
\varphi=\dfrac{\pi d_{p}^{2}}{A_{p}}.
  • Substituo d_{p}^{2} a partir do passo anterior e A_{p}=L^{2}\left(6+\dfrac{3\pi}{8}\right).
    Primeiro escrevo d_{p}^{2}:
d_{p}^{2}=L^{2}\left(\dfrac{6\left(1-\dfrac{\pi}{16}\right)}{\pi}\right)^{2/3}.
  • Substituindo em \varphi e cancelando L^{2}:
\varphi=\dfrac{\pi \; L^{2}\left(\dfrac{6\left(1-\dfrac{\pi}{16}\right)}{\pi}\right)^{2/3}}{L^{2}\left(6+\dfrac{3\pi}{8}\right)} = \dfrac{\pi\left(\dfrac{6\left(1-\dfrac{\pi}{16}\right)}{\pi}\right)^{2/3}}{6+\dfrac{3\pi}{8}}.
  • Para uma forma alternativa, posso simplificar a expressão do denominador: 6+\dfrac{3\pi}{8}=\dfrac{48+3\pi}{8}=\dfrac{3(16+\pi)}{8}. Mantendo a forma compacta:
\varphi=\dfrac{\pi\left(\dfrac{6\left(1-\dfrac{\pi}{16}\right)}{\pi}\right)^{2/3}}{6+\dfrac{3\pi}{8}}.
Também é possível expandir 1-\dfrac{\pi}{16}=\dfrac{16-\pi}{16} e obter outra forma:
\varphi=\dfrac{\pi\left(\dfrac{6(16-\pi)}{16\pi}\right)^{2/3}}{6+\dfrac{3\pi}{8}}.
Expliquei: escrevi \varphi em função apenas de números e de \pi, sem L (o fator L^{2} cancela), como deve ser para uma razão adimensional.

Resposta

d_{p}=L\left(\dfrac{6\left(1-\dfrac{\pi}{16}\right)}{\pi}\right)^{1/3}=L\left(\dfrac{3(16-\pi)}{8\pi}\right)^{1/3}
\varphi=\dfrac{\pi\left(\dfrac{6\left(1-\dfrac{\pi}{16}\right)}{\pi}\right)^{2/3}}{6+\dfrac{3\pi}{8}}=\dfrac{\pi\left(\dfrac{6(16-\pi)}{16\pi}\right)^{2/3}}{6+\dfrac{3\pi}{8}}

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