Calcular o diâmetro do cilindro equilátero (diâmetro = altura) de alumínio que ao cair, sob a ação do campo gravitacional terrestre, em glicerol
a
e 1 atm , atinge uma velocidade terminal de
. Usar dados tanto da correlação
quanto da de Coelho e Massarani (1996).
Dados:
Pa.s ,
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
O enunciado fornece:
- Velocidade terminal:
- Fluido (glicerol 50% a
C): - Viscosidade dinâmica:
- Densidade do fluido:
- Viscosidade dinâmica:
- Partícula (cilindro equilátero, isto é, diâmetro = altura):
- Densidade do sólido:
- Geometria: cilindro com
(altura igual ao diâmetro).
- Densidade do sólido:
- A gravidade: vou usar
O que se pede:
- Calcular o diâmetro do cilindro (lembre: para este problema o diâmetro é igual à altura) tal que o cilindro atinja a velocidade terminal dada.
- Fazer esse cálculo usando duas abordagens:
- Correlação do tipo
(vou usar a correlação de Ganser para partículas não-esféricas — ela envolve a esfericidade e dá em função de corrigido). - Correlação de Coelho & Massarani (1996). Observação importante: não tenho disponível aqui textualmente a fórmula explícita publicada por Coelho & Massarani (1996). Quando a fórmula não estiver acessível, uma aproximação frequente em problemas de sedimentação é tratar a partícula por bolha/ esfera equivalente e usar a correlação de Schiller–Naumann para esferas como estimativa de referência. Vou explicitar isso e fazer a aproximação (isto será indicado claramente): o primeiro resultado (Ganser) será baseado na correlação
para partículas não-esféricas; o segundo resultado será uma estimativa por esfera equivalente usando Schiller–Naumann (que serve como comparação e aproximação prática quando a correlação específica não está à mão). Se você tiver a expressão numérica exata de Coelho & Massarani, posso substituir e repetir os cálculos.
- Correlação do tipo
Observações geométricas úteis (vou usar adiante):
- Volume do cilindro:
(porque ). - Área de projeção (frontal) assumida para cair broadside (eixo horizontal):
Vou justificar essa escolha abaixo (partículas quase equidimensionais tendem a cair com o maior arrasto, isto é, broadside; se cair verticalmente o resultado muda). - Diâmetro da esfera equivalente (mesmo volume):
tal que - Esfericidade
(razão entre área da esfera equivalente e área da partícula): calcularei abaixo.
A resolução começa no passo seguinte.
Passo 2
Cálculo da esfericidade
do cilindro com
(essa quantidade entra nas correlações para partículas não-esféricas).
Definição: a esfericidade
é a razão entre a área superficial da esfera que tem o mesmo volume da partícula e a área superficial real da partícula:
Para o nosso cilindro com
:
- Volume do cilindro:
- Raio da esfera equivalente
tal que . Logo
- Área da esfera equivalente:
- Área superficial do cilindro (com tampas): lateral
e duas bases . Portanto
Agora a esfericidade:
Calculando numericamente:
Portanto usarei
na correlação de partículas não-esféricas.
Comentário sobre orientação: escolhi área de projeção
(cilindro broadside) porque cilindros quase equidimensionais tendem a se orientar com o maior arrasto (eixo aproximadamente horizontal) durante a queda livre estável. Se a orientação for vertical (queda ponta à frente), o arrasto é menor e o diâmetro requerido para a mesma velocidade terminal seria menor; isto deve ser levado em conta se houver informação experimental sobre a orientação preferida.
Passo 3
Princípio físico e equação de equilíbrio (forças verticais) para velocidade terminal.
No regime terminal, soma das forças verticais = 0:
Em símbolos:
Isolando
:
Agora substituo as expressões geométricas do cilindro (com
):
Substituindo:
Esta expressão relaciona o
necessário (imposto pelo balanço de forças) com o diâmetro
. Note que aqui
aparece linearmente com
: quanto maior o diâmetro, maior o
exigido para equilibrar as forças à velocidade dada. Mas, ao mesmo tempo, o próprio
depende de
, que depende de
: precisamos encontrar
que satisfaça ambas as relações simultaneamente.
Vou calcular constantes numéricas dessa expressão para facilitar iteração:
-
- Calcular a constante multiplicativa:
Numericamente:
Faço as contas em etapas:
Portanto
Também precisamos da definição do número de Reynolds do corpo, usando um comprimento característico apropriado. Para partículas não-esféricas costuma-se usar o diâmetro equivalente de volume
como comprimento característico para
. Já encontramos
Assim:
Calcule a constante que relaciona
com
:
Cálculo:
Logo
Resumo da etapa: temos duas relações em função de
:
-
exigido pelo balanço: -
Agora falta usar uma correlação que relacionecom e (esfericidade) — farei isso no próximo passo para a correlação do tipo .
Passo 4
Aplicação da correlação tipo
— usei a correlação de Ganser (1993) para partículas não-esféricas (é uma correlação padrão que dá
em função de um Reynolds corrigido e da esfericidade). Vou escrever as fórmulas e depois resolver numericamente.
Ganser define dois fatores de forma
e
(funções de
) e um número de Reynolds efetivo
. A expressão para
é:
As expressões aproximadas para os fatores (forma usual encontrada na literatura) são:
(estas fórmulas são as usadas rotineiramente para partículas não-esféricas;
corrige o regime viscoso e
a parte newtoniana.)
Agora calculo numericamente usando
.
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Portanto:
Defino
. Como
(do Passo 3), segue
Vou chamar
para facilitar as iterações:
A correlação de Ganser (em função de
) dá
O balanço dinâmico impõe (do Passo 3):
Logo a condição de consistência é:
Isto é uma equação não-linear em
. Vou resolver numericamente por tentativa/iteração simples (mostro os passos numéricos resumidos).
Testes numéricos (exemplos de pontos):
- Para
: , enquanto . Aqui . - Para
: , . Aqui .
Com busca localizada entre
e
e refinamento (mostro uma iteração resumida):
- Em
: , → diferença . - Em
: , → diferença .
Interpolando linearmente entre esses pontos estima-se a raiz em
. Assim:
Ou seja
Verificações rápidas:
-
-
resultante (pela igualdade) é - Esses números são consistentes: baixo Re (alguns poucos),
da ordem de 3–5 para um cilindro broadside em Re pequeno-moderado é razoável.
Portanto, usando a correlação tipo
(aqui aplicada via Ganser), o diâmetro obtido é aproximadamente
.
Passo 5
Aplicação da correlação de Coelho & Massarani (1996) — observação e aproximação.
Comentário importante e transparência: a expressão matemática explícita publicada por Coelho & Massarani (1996) não está diretamente disponível aqui. Quando a correlação exata de um autor não está acessível no momento, uma forma prática de obter uma estimativa de referência é:
- modelar a partícula por uma esfera equivalente (mesmo volume) e
- usar a correlação de Schiller–Naumann (Schiller & Naumann) para esferas, que é uma correlação clássica e frequentemente citada em trabalhos de sedimentação e serve como comparação.
Portanto, para cumprir a solicitação “usar dados … da de Coelho & Massarani (1996)”, ofereço duas opções:
- Se você tiver a expressão numérica exata de Coelho & Massarani, cole-a para eu calcular com precisão. — (se tiver, posso recalcular imediatamente).
- Enquanto isso, apresento uma estimativa usando a esfera equivalente + correlação de Schiller–Naumann, que dá uma referência prática.
Vou, portanto, realizar o cálculo pela via da esfera equivalente (estimativa comparativa).
Equações para a esfera equivalente (já vimos
):
Equilíbrio das forças para uma esfera de diâmetro
(a mesma energia potencial, volume igual):
(derivação: análoga ao Passo 3 colocando
e
.)
Numérico: usando as constantes anteriores, obtém-se
quando escrito em função de
(pois
). Em termos de
dá-se também
(ligando com o Reynolds da esfera).
A correlação de Schiller–Naumann para esferas (válida até Re ~ 800) é:
Consistência exige
. Resolvo numericamente essa igualdade para
e depois obtenho
e
.
Resolução numérica (mostro passos resumidos):
- Constante que liga
e :
Como
, ou
.
A igualdade a resolver (transformada) resulta numericamente em
. Isso implica:
Portanto, usando a aproximação por esfera equivalente com Schiller–Naumann (estimativa frequente quando a correlação específica não está disponível), obtém-se:
Aviso: este valor é uma estimativa de referência. A correlação específica de Coelho & Massarani (1996) pode dar um valor diferente (normalmente entre as duas estimativas) dependendo de como eles trataram orientação/orientação média e fatores geométricos para cilindros. Se você me fornecer a expressão numérica exata da correlação de Coelho & Massarani, eu substituo e recalculo com precisão — o procedimento matemático será idêntico ao do Passo 4 (igualar
da correlação com o
exigido pelo balanço e resolver por
).
Passo 6
Interpretação final e comentários práticos (o que os números significam na prática).
-
Resultado pela correlação tipo
(Ganser): - Aqui considerei o cilindro caindo broadside (área de projeção
) e usei a correlação Ganser que incorpora a esfericidade . O resultado é pequeno (sub-milímetro) e o Re calculado é , um regime de baixo Reynolds. -
encontrado ≈ 3,9 (valor razoável para cilindros em cross-flow a Re pequeno-moderado).
- Aqui considerei o cilindro caindo broadside (área de projeção
-
Estimativa por esfera equivalente + Schiller–Naumann (aproximação comparativa, usada aqui como referência por falta da formulação explícita de Coelho & Massarani):
- Esse valor é maior, porque a esfera equivalente tem área projetada menor (por unidade de volume) do que o cilindro broadside; para atingir a mesma velocidade terminal precisaríamos de partícula maior se usarmos área/propriedades de esfera. É, portanto, uma estimativa alta comparada ao caso do cilindro broadside.
Observação prática: a orientação real de um cilindro com
pode variar (pode oscilar entre broadside e ponta), e correlações experimentais específicas (como possivelmente a de Coelho & Massarani) podem fornecer um valor intermediário entre as duas estimativas acima. Por isso é importante saber qual orientação a correlação assume (média experimental, broadside, ponta, etc.).
Agora listo as respostas finais de forma direta para conferência.
Resposta
Correlação
(Ganser, não-esférico):
Estimativa por esfera equivalente + Schiller–Naumann (aproximação para comparação / placeholder para Coelho & Massarani 1996):
Estimativa por esfera equivalente + Schiller–Naumann (aproximação para comparação / placeholder para Coelho & Massarani 1996):
Se você puder fornecer a expressão numérica exata da correlação de Coelho & Massarani (1996) ou um gráfico/tabela deles, eu recalculo exatamente esse caso e te retorno o valor preciso correspondente.