Calcular o diâmetro do cilindro equilátero (diâmetro = altura) de alumínio que ao cair, sob a ação do campo gravitacional terrestre, em glicerol 50 \% a 15^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm , atinge uma velocidade terminal de 5 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. Usar dados tanto da correlação \mathrm{C}_{\mathrm{D}} \times \operatorname{Re}_{\mathrm{p}}, \varphi quanto da de Coelho e Massarani (1996).
Dados: \mu\left(15^{\circ} \mathrm{C}\right)=8.10^{-3} Pa.s , \rho\left(15^{\circ} \mathrm{C}\right)=1129 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}, \rho_{\mathrm{s}}=2700 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
O enunciado fornece:
  • Velocidade terminal: \,V_t = 5\\ \text{cm/s} = 0{,}05\\ \text{m/s}.
  • Fluido (glicerol 50% a 15^\circC):
    • Viscosidade dinâmica: \,\mu = 8\cdot10^{-3}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}.
    • Densidade do fluido: \,\rho = 1129\\ \text{kg/m}^3.
  • Partícula (cilindro equilátero, isto é, diâmetro = altura):
    • Densidade do sólido: \,\rho_s = 2700\\ \text{kg/m}^3.
    • Geometria: cilindro com H=D (altura igual ao diâmetro).
  • A gravidade: vou usar \,g = 9{,}81\\ \text{m/s}^2.
O que se pede:
  • Calcular o diâmetro do cilindro (lembre: para este problema o diâmetro é igual à altura) tal que o cilindro atinja a velocidade terminal dada.
  • Fazer esse cálculo usando duas abordagens:
    1. Correlação do tipo C_D \times \operatorname{Re}_p, \varphi (vou usar a correlação de Ganser para partículas não-esféricas — ela envolve a esfericidade \varphi e dá C_D em função de \operatorname{Re}_p corrigido).
    2. Correlação de Coelho & Massarani (1996). Observação importante: não tenho disponível aqui textualmente a fórmula explícita publicada por Coelho & Massarani (1996). Quando a fórmula não estiver acessível, uma aproximação frequente em problemas de sedimentação é tratar a partícula por bolha/ esfera equivalente e usar a correlação de Schiller–Naumann para esferas como estimativa de referência. Vou explicitar isso e fazer a aproximação (isto será indicado claramente): o primeiro resultado (Ganser) será baseado na correlação C_D(\operatorname{Re},\varphi) para partículas não-esféricas; o segundo resultado será uma estimativa por esfera equivalente usando Schiller–Naumann (que serve como comparação e aproximação prática quando a correlação específica não está à mão). Se você tiver a expressão numérica exata de Coelho & Massarani, posso substituir e repetir os cálculos.
Observações geométricas úteis (vou usar adiante):
  • Volume do cilindro: \displaystyle V_p = \frac{\pi}{4}\,D^2 H = \frac{\pi}{4}\,D^3 (porque H=D).
  • Área de projeção (frontal) assumida para cair broadside (eixo horizontal): \displaystyle A_p = D\cdot H = D^2. Vou justificar essa escolha abaixo (partículas quase equidimensionais tendem a cair com o maior arrasto, isto é, broadside; se cair verticalmente o resultado muda).
  • Diâmetro da esfera equivalente (mesmo volume): \displaystyle d_{eq} tal que \frac{\pi}{6}d_{eq}^3 = \frac{\pi}{4}D^3 \Rightarrow d_{eq} = \left(\frac{3}{2}\right)^{1/3} D \approx 1{,}1447\,D.
  • Esfericidade \varphi (razão entre área da esfera equivalente e área da partícula): calcularei abaixo.
A resolução começa no passo seguinte.

Passo 2

Cálculo da esfericidade \varphi do cilindro com H=D (essa quantidade entra nas correlações para partículas não-esféricas).
Definição: a esfericidade \varphi é a razão entre a área superficial da esfera que tem o mesmo volume da partícula e a área superficial real da partícula:
\varphi = \frac{A_{\text{esfera\_eq}}}{A_{\text{partícula}}}.í
Para o nosso cilindro com H=D:
  • Volume do cilindro: \displaystyle V_p = \frac{\pi}{4}D^3.
  • Raio da esfera equivalente \,R tal que \frac{4}{3}\pi R^3 = V_p. Logo
R^3 = \frac{3V_p}{4\pi} = \frac{3}{4\pi}\cdot\frac{\pi}{4}D^3 = \frac{3}{16}D^3 \quad\Rightarrow\quad R = D\left(\frac{3}{16}\right)^{1/3}.
  • Área da esfera equivalente:
A_{\text{esfera\_eq}} = 4\pi R^2 = 4\pi D^2 \left(\frac{3}{16}\right)^{2/3}.
  • Área superficial do cilindro (com tampas): lateral \pi D H = \pi D^2 e duas bases 2\cdot\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi D^2}{2}. Portanto
A_{\text{cil}} = \pi D^2 + \frac{\pi D^2}{2} = \frac{3}{2}\pi D^2.
Agora a esfericidade:
\varphi = \frac{4\pi D^2 \left(\dfrac{3}{16}\right)^{2/3}}{\tfrac{3}{2}\pi D^2} = \frac{8}{3}\left(\frac{3}{16}\right)^{2/3}.
Calculando numericamente:
\left(\frac{3}{16}\right)^{2/3}\approx 0{,}3277\quad\Rightarrow\quad \varphi \approx \frac{8}{3}\cdot 0{,}3277 \approx 0{,}875.
Portanto usarei \displaystyle \varphi \approx 0{,}875 na correlação de partículas não-esféricas.
Comentário sobre orientação: escolhi área de projeção A_p = D^2 (cilindro broadside) porque cilindros quase equidimensionais tendem a se orientar com o maior arrasto (eixo aproximadamente horizontal) durante a queda livre estável. Se a orientação for vertical (queda ponta à frente), o arrasto é menor e o diâmetro requerido para a mesma velocidade terminal seria menor; isto deve ser levado em conta se houver informação experimental sobre a orientação preferida.

Passo 3

Princípio físico e equação de equilíbrio (forças verticais) para velocidade terminal.
No regime terminal, soma das forças verticais = 0:
\text{peso} - \text{empuxo} - \text{arrasto} = 0.
Em símbolos:
\rho_s V_p g - \rho V_p g - \tfrac12 \rho C_D A_p V_t^2 = 0.
Isolando C_D:
C_D = \frac{2(\rho_s-\rho)V_p g}{\rho A_p V_t^2}.
Agora substituo as expressões geométricas do cilindro (com H=D):
V_p = \frac{\pi}{4}D^3,\qquad A_p = D^2.
Substituindo:
C_D = \frac{2(\rho_s-\rho)\,\dfrac{\pi}{4}D^3 g}{\rho\,D^2 V_t^2} = \frac{\pi}{2}\,\frac{(\rho_s-\rho)g}{\rho V_t^2}\,D.
Esta expressão relaciona o C_D necessário (imposto pelo balanço de forças) com o diâmetro D. Note que aqui C_D aparece linearmente com D: quanto maior o diâmetro, maior o C_D exigido para equilibrar as forças à velocidade dada. Mas, ao mesmo tempo, o próprio C_D depende de \operatorname{Re}_p, que depende de D: precisamos encontrar D que satisfaça ambas as relações simultaneamente.
Vou calcular constantes numéricas dessa expressão para facilitar iteração:
  • \Delta\rho = \rho_s - \rho = 2700 - 1129 = 1571\\ \text{kg/m}^3.
  • Calcular a constante multiplicativa:
C_0 \equiv \frac{\pi}{2}\,\frac{\Delta\rho\, g}{\rho V_t^2}.
Numericamente:
V_t^2 = (0{,}05)^2 = 0{,}0025\\ \text{m}^2/\text{s}^2,
C_0 = \frac{\pi}{2}\cdot\frac{1571\cdot 9{,}81}{1129\cdot 0{,}0025}.
Faço as contas em etapas:
1571\cdot 9{,}81 \approx 15411{,}5, \qquad 1129\cdot 0{,}0025 = 2{,}8225,
\frac{15411{,}5}{2{,}8225}\approx 5462{,}9, \qquad \frac{\pi}{2}\approx1{,}5708,
C_0 \approx 1{,}5708\cdot 5462{,}9 \approx 8576.
Portanto
\boxed{C_D \approx 8576\; D}\quad\text{(com \(D\) em metros).}
Também precisamos da definição do número de Reynolds do corpo, usando um comprimento característico apropriado. Para partículas não-esféricas costuma-se usar o diâmetro equivalente de volume \,d_{eq} como comprimento característico para \operatorname{Re}_p. Já encontramos
d_{eq} = \left(\frac{3}{2}\right)^{1/3} D \approx 1{,}1447\,D.
Assim:
\operatorname{Re}_p = \frac{\rho V_t d_{eq}}{\mu} = \frac{\rho V_t (1{,}1447 D)}{\mu}.
Calcule a constante que relaciona \operatorname{Re}_p com D:
k_{Re} = \frac{\rho V_t \,1{,}1447}{\mu} = \frac{1129\cdot 0{,}05\cdot 1{,}1447}{8\cdot 10^{-3}}.
Cálculo:
1129\cdot 0{,}05 = 56{,}45,\quad 56{,}45 \cdot 1{,}1447 \approx 64{,}66, \quad \frac{64{,}66}{8\cdot10^{-3}} \approx 8082.
Logo
\boxed{\operatorname{Re}_p \approx 8082\; D}\quad\text{(com \(D\) em metros).}
Resumo da etapa: temos duas relações em função de D:
  • C_D exigido pelo balanço: C_D = 8576\,D.
  • \operatorname{Re}_p = 8082\,D.
    Agora falta usar uma correlação que relacione C_D com \operatorname{Re}_p e \varphi (esfericidade) — farei isso no próximo passo para a correlação do tipo C_D \times \operatorname{Re}_p, \varphi.

Passo 4

Aplicação da correlação tipo C_D(\operatorname{Re}_p,\varphi) — usei a correlação de Ganser (1993) para partículas não-esféricas (é uma correlação padrão que dá C_D em função de um Reynolds corrigido e da esfericidade). Vou escrever as fórmulas e depois resolver numericamente.
Ganser define dois fatores de forma K_1 e K_2 (funções de \varphi) e um número de Reynolds efetivo Re^\ast = Re_p\,K_1\,K_2. A expressão para C_D é:
C_D = \frac{24}{Re^\ast}\left(1+0{,}1118\,{Re^\ast}^{0{,}6567}\right) + \frac{0{,}4305}{1+\dfrac{3305}{Re^\ast}}.
As expressões aproximadas para os fatores (forma usual encontrada na literatura) são:
K_1 = \frac{1}{3}\,\varphi^{-1} + \frac{2}{3}\,\varphi^{-1/2}, \qquad K_2 = 10^{\,1{,}8148\left(-\log_{10}\varphi\right)^{0{,}5743}}.
(estas fórmulas são as usadas rotineiramente para partículas não-esféricas; K_1 corrige o regime viscoso e K_2 a parte newtoniana.)
Agora calculo numericamente usando \varphi \approx 0{,}875.
Cálculo de K_1:
\varphi^{-1} \approx 1{,}1429,\qquad \varphi^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{0{,}875}}\approx 1{,}0692,
K_1 \approx \tfrac13\cdot 1{,}1429 + \tfrac23\cdot 1{,}0692 \approx 0{,}3810 + 0{,}7128 \approx 1{,}0938.
Cálculo de K_2:
-\log_{10}\varphi = -\log_{10}(0{,}875)\approx 0{,}05799,
\left(-\log_{10}\varphi\right)^{0{,}5743} \approx (0{,}05799)^{0{,}5743}\approx 0{,}1948,
1{,}8148\cdot 0{,}1948 \approx 0{,}3536,\qquad K_2 = 10^{0{,}3536}\approx 2{,}256.
Portanto:
K_1\cdot K_2 \approx 1{,}0938\cdot 2{,}256 \approx 2{,}468.
Defino Re^\ast = Re_p K_1 K_2 = 2{,}468\,Re_p. Como Re_p = 8082\,D (do Passo 3), segue
Re^\ast \approx 2{,}468\cdot 8082\,D \approx 19960\,D.
Vou chamar x = Re^\ast para facilitar as iterações: x\approx 19960\,D.
A correlação de Ganser (em função de x) dá
C_{D,\text{Ganser}}(x) = \frac{24}{x}\Big(1+0{,}1118\,x^{0{,}6567}\Big) + \frac{0{,}4305}{1+\dfrac{3305}{x}}.
O balanço dinâmico impõe (do Passo 3):
C_D = 8576\,D = 8576\cdot\frac{x}{19960} = 0{,}4298\,x.
Logo a condição de consistência é:
C_{D,\text{Ganser}}(x) = 0{,}4298\,x.
Isto é uma equação não-linear em x. Vou resolver numericamente por tentativa/iteração simples (mostro os passos numéricos resumidos).
Testes numéricos (exemplos de pontos):
  • Para x=5: C_{D,\text{Ganser}}\approx6{,}34, enquanto 0{,}4298x=2{,}15. Aqui C_{D,\text{Ganser}}>0{,}4298x.
  • Para x=10: C_{D,\text{Ganser}}\approx3{,}62, 0{,}4298x=4{,}298. Aqui C_{D,\text{Ganser}}<0{,}4298x.
Com busca localizada entre x\approx 5 e x\approx 10 e refinamento (mostro uma iteração resumida):
  • Em x=9: C_{D,\text{Ganser}}\approx 3{,}929, 0{,}4298x=3{,}868 → diferença +\!0{,}061.
  • Em x=9{,}12: C_{D,\text{Ganser}}\approx 3{,}890, 0{,}4298x=3{,}921 → diferença -\!0{,}031.
Interpolando linearmente entre esses pontos estima-se a raiz em x\approx 9{,}08. Assim:
Re^\ast = x \approx 9{,}08\quad\Rightarrow\quad D \approx \frac{x}{19960} \approx \frac{9{,}08}{19960} \approx 4{,}553\cdot 10^{-4}\\ \text{m}.
Ou seja
\boxed{D \approx 4{,}55\times 10^{-4}\\ \text{m} = 0{,}455\\ \text{mm}.}
Verificações rápidas:
  • \operatorname{Re}_p = \dfrac{x}{K_1K_2} \approx \dfrac{9{,}08}{2{,}468} \approx 3{,}68.
  • C_D resultante (pela igualdade) é C_D \approx 8576\cdot D \approx 8576\cdot 4{,}553\times10^{-4}\approx 3{,}90.
  • Esses números são consistentes: baixo Re (alguns poucos), C_D da ordem de 3–5 para um cilindro broadside em Re pequeno-moderado é razoável.
Portanto, usando a correlação tipo C_D \times Re_p,\varphi (aqui aplicada via Ganser), o diâmetro obtido é aproximadamente 0{,}455\\ \text{mm}.

Passo 5

Aplicação da correlação de Coelho & Massarani (1996) — observação e aproximação.
Comentário importante e transparência: a expressão matemática explícita publicada por Coelho & Massarani (1996) não está diretamente disponível aqui. Quando a correlação exata de um autor não está acessível no momento, uma forma prática de obter uma estimativa de referência é:
  • modelar a partícula por uma esfera equivalente (mesmo volume) e
  • usar a correlação de Schiller–Naumann (Schiller & Naumann) para esferas, que é uma correlação clássica e frequentemente citada em trabalhos de sedimentação e serve como comparação.
Portanto, para cumprir a solicitação “usar dados … da de Coelho & Massarani (1996)”, ofereço duas opções:
  • Se você tiver a expressão numérica exata de Coelho & Massarani, cole-a para eu calcular com precisão. — (se tiver, posso recalcular imediatamente).
  • Enquanto isso, apresento uma estimativa usando a esfera equivalente + correlação de Schiller–Naumann, que dá uma referência prática.
Vou, portanto, realizar o cálculo pela via da esfera equivalente (estimativa comparativa).
Equações para a esfera equivalente (já vimos d_{eq}\approx 1{,}1447\,D):
Equilíbrio das forças para uma esfera de diâmetro d_{eq} (a mesma energia potencial, volume igual):
C_D^{(s)} = \frac{4}{3}\,\frac{(\rho_s-\rho)g d_{eq}}{\rho V_t^2}.
(derivação: análoga ao Passo 3 colocando V_p=(\pi/6)d_{eq}^3 e A_p=\pi d_{eq}^2/4.)
Numérico: usando as constantes anteriores, obtém-se
C_D^{(s)} \approx 8334\; D
quando escrito em função de D (pois d_{eq}=1{,}1447D). Em termos de d_{eq} dá-se também C_D^{(s)}\approx 1{,}1808\,Re_s (ligando com o Reynolds da esfera).
A correlação de Schiller–Naumann para esferas (válida até Re ~ 800) é:
C_D^{(SN)}(Re_s) = \frac{24}{Re_s}\left(1+0{,}15\,Re_s^{0{,}687}\right).
Consistência exige C_D^{(SN)}(Re_s) = C_D^{(s)}(Re_s). Resolvo numericamente essa igualdade para Re_s e depois obtenho d_{eq} e D.
Resolução numérica (mostro passos resumidos):
  • Constante que liga Re_s e D:
Re_s = \frac{\rho V_t d_{eq}}{\mu} = 7056{,}25\; d_{eq} \quad\text{(com \(d_{eq}\) em metros)}.
Como d_{eq}=1{,}1447 D, ou D = d_{eq}/1{,}1447.
A igualdade a resolver (transformada) resulta numericamente em Re_s \approx 5{,}49. Isso implica:
d_{eq} = \frac{Re_s}{7056{,}25} \approx \frac{5{,}49}{7056{,}25} \approx 7{,}784\times 10^{-4}\\ \text{m},
D = \frac{d_{eq}}{1{,}1447} \approx 6{,}79\times 10^{-4}\\ \text{m} = 0{,}679\\ \text{mm}.
Portanto, usando a aproximação por esfera equivalente com Schiller–Naumann (estimativa frequente quando a correlação específica não está disponível), obtém-se:
\boxed{D \approx 0{,}68\\ \text{mm}.}
Aviso: este valor é uma estimativa de referência. A correlação específica de Coelho & Massarani (1996) pode dar um valor diferente (normalmente entre as duas estimativas) dependendo de como eles trataram orientação/orientação média e fatores geométricos para cilindros. Se você me fornecer a expressão numérica exata da correlação de Coelho & Massarani, eu substituo e recalculo com precisão — o procedimento matemático será idêntico ao do Passo 4 (igualar C_D da correlação com o C_D exigido pelo balanço e resolver por D).

Passo 6

Interpretação final e comentários práticos (o que os números significam na prática).
  • Resultado pela correlação tipo C_D(\operatorname{Re}_p,\varphi) (Ganser): \displaystyle D \approx 0{,}455\\ \text{mm}.
    • Aqui considerei o cilindro caindo broadside (área de projeção A_p=D^2) e usei a correlação Ganser que incorpora a esfericidade \varphi. O resultado é pequeno (sub-milímetro) e o Re calculado é \operatorname{Re}_p\approx 3{,}68, um regime de baixo Reynolds.
    • C_D encontrado ≈ 3,9 (valor razoável para cilindros em cross-flow a Re pequeno-moderado).
  • Estimativa por esfera equivalente + Schiller–Naumann (aproximação comparativa, usada aqui como referência por falta da formulação explícita de Coelho & Massarani): \displaystyle D \approx 0{,}68\\ \text{mm}.
    • Esse valor é maior, porque a esfera equivalente tem área projetada menor (por unidade de volume) do que o cilindro broadside; para atingir a mesma velocidade terminal precisaríamos de partícula maior se usarmos área/propriedades de esfera. É, portanto, uma estimativa alta comparada ao caso do cilindro broadside.
Observação prática: a orientação real de um cilindro com H\approx D pode variar (pode oscilar entre broadside e ponta), e correlações experimentais específicas (como possivelmente a de Coelho & Massarani) podem fornecer um valor intermediário entre as duas estimativas acima. Por isso é importante saber qual orientação a correlação assume (média experimental, broadside, ponta, etc.).
Agora listo as respostas finais de forma direta para conferência.

Resposta

Correlação C_D\times\operatorname{Re}_p,\varphi (Ganser, não-esférico): D \approx 0{,}455\\ \text{mm}.
Estimativa por esfera equivalente + Schiller–Naumann (aproximação para comparação / placeholder para Coelho & Massarani 1996): D \approx 0{,}68\\ \text{mm}.
Se você puder fornecer a expressão numérica exata da correlação de Coelho & Massarani (1996) ou um gráfico/tabela deles, eu recalculo exatamente esse caso e te retorno o valor preciso correspondente.

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