Desenvolver expressões para d_{p} e \varphi das seguintes partículas de geometria simples:
tubo de diâmetro interno Di, diâmetro externo kDi (k é uma constante) e comprimento L

Passo 1

O enunciado dá uma partícula em forma de tubo (cilindro oco) com:
  • diâmetro interno D_i;
  • diâmetro externo D_e = k D_i, onde k é uma constante;
  • comprimento L.
O que se pede:
  • desenvolver uma expressão para d_{p} (aqui vou assumir a definição usual em problemas de partículas: o diâmetro da esfera que tem o mesmo volume da partícula — ou seja, o diâmetro “equivalente de volume”);
  • desenvolver uma expressão para \varphi (a sphericidade), definida como a razão entre a área de superfície da esfera de mesmo volume e a área de superfície real da partícula:
\varphi = \frac{\text{área da esfera de mesmo volume}}{\text{área superficial do tubo}}.áá
Observação (assunção): suponho que o tubo tem as duas extremidades abertas (superfície inclui lateral externa, lateral interna e as duas faces anulares das extremidades). Se as extremidades fossem fechadas de outra forma, a área superficial mudaria e as fórmulas teriam que ser ajustadas.

Passo 2

Calcular o volume do tubo oco. A área da secção transversal (anel) é a área do círculo externo menos a do círculo interno:
A_{\text{sec}} = \frac{\pi}{4}\bigl(D_e^2 - D_i^2\bigr).
O volume é essa área vezes o comprimento L:
V_p = A_{\text{sec}}\;L = \frac{\pi}{4}\bigl(D_e^2 - D_i^2\bigr) L.
Substituindo D_e = k D_i:
V_p = \frac{\pi}{4}\bigl((kD_i)^2 - D_i^2\bigr)L = \frac{\pi}{4}D_i^2\bigl(k^2-1\bigr)L.

Passo 3

Definir d_p como o diâmetro da esfera cujo volume é igual a V_p. O volume de uma esfera de diâmetro d é
V_{\text{sph}}=\frac{\pi}{6}d^3.
Igualando volumes \frac{\pi}{6}d_p^3 = V_p e resolvendo para d_p:
\frac{\pi}{6}d_p^3 = \frac{\pi}{4}D_i^2\bigl(k^2-1\bigr)L.
Cancelar \pi e isolar d_p^3:
d_p^3 = \frac{6}{1}\cdot\frac{1}{4}D_i^2\bigl(k^2-1\bigr)L = \frac{3}{2}D_i^2\bigl(k^2-1\bigr)L.
Portanto
d_p = \left(\frac{3}{2}D_i^2\bigl(k^2-1\bigr)L\right)^{1/3}.
Uma forma alternativa, factorando D_i, é
d_p = D_i^{2/3}\left(\frac{3}{2}\bigl(k^2-1\bigr)L\right)^{1/3}.

Passo 4

Agora a área da esfera de diâmetro d_p é (fórmula conhecida: A_{\text{sph}}=4\pi r^2, com r=d_p/2, que leva a A_{\text{sph}}=\pi d_p^2):
A_{\text{sph}} = \pi d_p^2.

Passo 5

Calcular a área superficial do tubo (partícula):
  • área lateral externa: A_{\text{lat,ext}} = \pi D_e L;
  • área lateral interna: A_{\text{lat,int}} = \pi D_i L;
  • áreas das duas faces anulares (duas extremidades): cada anel tem área \pi\bigl(R_e^2-R_i^2\bigr)=\dfrac{\pi}{4}\bigl(D_e^2-D_i^2\bigr), então as duas juntas dão \dfrac{\pi}{2}\bigl(D_e^2-D_i^2\bigr).
Somando:
A_p = \pi D_e L + \pi D_i L + \frac{\pi}{2}\bigl(D_e^2-D_i^2\bigr).
Fatorando \pi e substituindo D_e=kD_i:
A_p = \pi\Bigl(D_i(k+1)L + \tfrac{1}{2}D_i^2(k^2-1)\Bigr).

Passo 6

Definir a sphericidade \varphi como
\varphi=\frac{A_{\text{sph}}}{A_p}=\frac{\pi d_p^2}{A_p}.
Substituir d_p^2 e A_p. Primeiro obtenha d_p^2 a partir do resultado do Passo 3:
d_p^2=\left(\frac{3}{2}D_i^2(k^2-1)L\right)^{2/3}.
Substituindo em \varphi e cancelando o fator \pi:
\varphi = \frac{\left(\dfrac{3}{2}D_i^2(k^2-1)L\right)^{2/3}}{D_i(k+1)L + \tfrac{1}{2}D_i^2(k^2-1)}.
Para simplificar e obter uma forma adimensional, defina a esbeltez relativa (razão comprimento/diâmetro interno)
\lambda = \frac{L}{D_i}.
Usando \lambda simplifica-se bastante: note que D_i^2(k^2-1)L = D_i^3(k^2-1)\lambda. Ao fazer as manipulações:
\varphi = \frac{\left(\dfrac{3}{2}(k^2-1)\lambda\right)^{2/3}}{(k+1)\lambda + \tfrac{1}{2}(k^2-1)}.
Essa expressão é adimensional e depende apenas de k e da razão \lambda=L/D_i, como esperado.

Passo 7

Resumo prático e dica de prova: para calcular d_p plugue D_i,k,L na fórmula do Passo 3; para \varphi é conveniente calcular \lambda=L/D_i e aplicar a fórmula do Passo 6 — assim todos os fatores de dimensão se cancelam e fica mais simples calcular numericamente. Vai ficar tudo bem — se na prova pedirem outra definição (por exemplo diâmetro equivalente em termos de área projetada ou diâmetro hidráulico) ajuste a definição de d_p conforme pedido; aqui usamos a definição de diâmetro equivalente de volume e a definição padrão de sphericidade.

Resposta

d_p = \left(\dfrac{3}{2}D_i^2\bigl(k^2-1\bigr)L\right)^{1/3}
\displaystyle \varphi = \frac{\left(\dfrac{3}{2}(k^2-1)\dfrac{L}{D_i}\right)^{2/3}}{(k+1)\dfrac{L}{D_i} + \tfrac{1}{2}(k^2-1)}

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