Desenvolver expressões para
e
das seguintes partículas de geometria simples:
tubo de diâmetro interno Di, diâmetro externo kDi (k é uma constante) e comprimento L
tubo de diâmetro interno Di, diâmetro externo kDi (k é uma constante) e comprimento L
Passo 1
O enunciado dá uma partícula em forma de tubo (cilindro oco) com:
- diâmetro interno
; - diâmetro externo
, onde é uma constante; - comprimento
.
O que se pede:
- desenvolver uma expressão para
(aqui vou assumir a definição usual em problemas de partículas: o diâmetro da esfera que tem o mesmo volume da partícula — ou seja, o diâmetro “equivalente de volume”); - desenvolver uma expressão para
(a sphericidade), definida como a razão entre a área de superfície da esfera de mesmo volume e a área de superfície real da partícula:
Observação (assunção): suponho que o tubo tem as duas extremidades abertas (superfície inclui lateral externa, lateral interna e as duas faces anulares das extremidades). Se as extremidades fossem fechadas de outra forma, a área superficial mudaria e as fórmulas teriam que ser ajustadas.
Passo 2
Calcular o volume do tubo oco. A área da secção transversal (anel) é a área do círculo externo menos a do círculo interno:
O volume é essa área vezes o comprimento
:
Substituindo
:
Passo 3
Definir
como o diâmetro da esfera cujo volume é igual a
. O volume de uma esfera de diâmetro
é
Igualando volumes
e resolvendo para
:
Cancelar
e isolar
:
Portanto
Uma forma alternativa, factorando
, é
Passo 4
Agora a área da esfera de diâmetro
é (fórmula conhecida:
, com
, que leva a
):
Passo 5
Calcular a área superficial do tubo (partícula):
- área lateral externa:
; - área lateral interna:
; - áreas das duas faces anulares (duas extremidades): cada anel tem área
, então as duas juntas dão .
Somando:
Fatorando
e substituindo
:
Passo 6
Definir a sphericidade
como
Substituir
e
. Primeiro obtenha
a partir do resultado do Passo 3:
Substituindo em
e cancelando o fator
:
Para simplificar e obter uma forma adimensional, defina a esbeltez relativa (razão comprimento/diâmetro interno)
Usando
simplifica-se bastante: note que
. Ao fazer as manipulações:
Essa expressão é adimensional e depende apenas de
e da razão
, como esperado.
Passo 7
Resumo prático e dica de prova: para calcular
plugue
na fórmula do Passo 3; para
é conveniente calcular
e aplicar a fórmula do Passo 6 — assim todos os fatores de dimensão se cancelam e fica mais simples calcular numericamente. Vai ficar tudo bem — se na prova pedirem outra definição (por exemplo diâmetro equivalente em termos de área projetada ou diâmetro hidráulico) ajuste a definição de
conforme pedido; aqui usamos a definição de diâmetro equivalente de volume e a definição padrão de sphericidade.