Calcular volume dos domínios dados V no espaço tridimensional:
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do conjunto
Pergunta clara: calcular o volume de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A superfície inferior do sólido é dada por
. - A superfície superior é o plano
. - A condição
implica que o sólido fica entre essas duas superfícies.
Passo 2
Ideia de resolução (fórmula e por que usar): quando um sólido é dado por duas superfícies
e
com
sobre uma região plana
no plano
, o volume é dado por
Aqui
é o elemento de área no plano
. Vou usar essa fórmula com
e
.
Explicação didática: essa fórmula soma, para cada ponto
da região
, a altura vertical do sólido em cima desse ponto; integrando sobre
somamos todas essas “camadas” de área infinitesimal para obter o volume.
Passo 3
Determinar a região de projeção
no plano
: como precisamos que exista altura positiva, exigimos
Portanto
é o disco de raio
centrado na origem:
Passo 4
Escolha de coordenadas: a região
é um disco circular, então é muito conveniente usar coordenadas polares. Lembrete rápido das coordenadas polares:
-
, -
, - o raio
e o ângulo varia de a .
Em coordenadas polares o elemento de área é. Explicação do : quando se passa de retângulo para o pequeno anel em polares, a área do elemento é aproximada por (isso é o jacobiano da transformação).
Passo 5
Escrever o integral do volume em polares. A altura em cada
é
Em coordenadas polares
. Logo a integranda fica
e o elemento de área é
. Assim o volume é
Passo 6
Calcular a integral interior passo a passo. Primeiro simplifico a integranda:
Agora integro em
de
a
:
Passo 7
Agora integro em
:
Interpretação final curta: o volume é a soma das alturas
sobre o disco unitário, que resulta em
.