Calcular volume dos domínios dados V no espaço tridimensional:
V=\left\{(x, y, z): x^{2}+y^{2}-1 \leq z \wedge z \leq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
V=\{(x,y,z): x^{2}+y^{2}-1 \leq z \wedge z \leq 0\}.
Pergunta clara: calcular o volume de V.
Informações relevantes fornecidas:
  • A superfície inferior do sólido é dada por z=x^{2}+y^{2}-1.
  • A superfície superior é o plano z=0.
  • A condição x^{2}+y^{2}-1 \leq z \leq 0 implica que o sólido fica entre essas duas superfícies.

Passo 2

Ideia de resolução (fórmula e por que usar): quando um sólido é dado por duas superfícies z=z_{\text{inf}}(x,y) e z=z_{\text{sup}}(x,y) com z_{\text{inf}}\le z_{\text{sup}} sobre uma região plana D no plano xy, o volume é dado por
V=\iint_{D}\bigl(z_{\text{sup}}(x,y)-z_{\text{inf}}(x,y)\bigr)\,dA.
Aqui dA é o elemento de área no plano xy. Vou usar essa fórmula com z_{\text{sup}}(x,y)=0 e z_{\text{inf}}(x,y)=x^{2}+y^{2}-1.
Explicação didática: essa fórmula soma, para cada ponto (x,y) da região D, a altura vertical do sólido em cima desse ponto; integrando sobre D somamos todas essas “camadas” de área infinitesimal para obter o volume.

Passo 3

Determinar a região de projeção D no plano xy: como precisamos que exista altura positiva, exigimos
x^{2}+y^{2}-1 \le 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+y^{2}\le 1.
Portanto D é o disco de raio 1 centrado na origem:
D=\{(x,y): x^{2}+y^{2}\le 1\}.

Passo 4

Escolha de coordenadas: a região D é um disco circular, então é muito conveniente usar coordenadas polares. Lembrete rápido das coordenadas polares:
  • x=r\cos\theta,
  • y=r\sin\theta,
  • o raio r\ge 0 e o ângulo \theta varia de 0 a 2\pi.
    Em coordenadas polares o elemento de área é dA=r\,dr\,d\theta. Explicação do r: quando se passa de retângulo dx\,dy para o pequeno anel em polares, a área do elemento é aproximada por r\,dr\,d\theta (isso é o jacobiano da transformação).

Passo 5

Escrever o integral do volume em polares. A altura em cada (r,\theta) é
z_{\text{sup}}-z_{\text{inf}}=0-(x^{2}+y^{2}-1)=1-(x^{2}+y^{2}).
Em coordenadas polares x^{2}+y^{2}=r^{2}. Logo a integranda fica 1-r^{2} e o elemento de área é r\,dr\,d\theta. Assim o volume é
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\bigl(1-r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral interior passo a passo. Primeiro simplifico a integranda:
(1-r^{2})r = r - r^{3}.
Agora integro em r de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\bigl(r-r^{3}\bigr)\,dr = \left[\frac{r^{2}}{2}-\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}-\frac{1}{4} = \frac{1}{4}.

Passo 7

Agora integro em \theta:
V=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{4}\,d\theta = \frac{1}{4}\bigl[ \theta \bigr]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{4}\cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}.
Interpretação final curta: o volume é a soma das alturas 1-r^{2} sobre o disco unitário, que resulta em \pi/2.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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