Calcular volume dos domínios dados V no espaço tridimensional: V=\left\{(x, y, z): y \geq x^{2} \wedge y \leq x \wedge x^{2}+y^{2} \leq z \leq 2\left(x^{2}+y^{2}\right)\right\}.
Passo 1
O enunciado pede o volume do conjunto
V=\{(x,y,z): y \ge x^{2},\\ y \le x,\\ x^{2}+y^{2}\le z \le 2(x^{2}+y^{2})\}.
Pergunta explícita: calcular o volume do domínio tridimensional V.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Em z a região é entre as superfícies z_{\text{inf}}=x^{2}+y^{2} e z_{\text{sup}}=2(x^{2}+y^{2}).
A projeção D de V no plano xy é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazemx^{2}\le y \le x.
Implicitamente, onde x^{2}\le x, isto é, para x tais que x(x-1)\le0, ou seja 0\le x\le1. Logo D está contido no primeiro quadrante, com x variando entre 0 e 1 e y variando entre x^{2} e x.
Passo 2
Estratégia e fórmula usada: o volume de V é dado pela integral tripla da função constante 1 sobre V:
\text{Vol}(V)=\iiint_{V} 1\,dV.
Como os limites em z são explícitos, podemos integrar primeiro em z e reduzir a tripla para uma dupla sobre D:
Interpretação final e checagem rápida: o volume obtido é positivo e pequeno (faz sentido, dado que D é uma região limitada entre x=0 e x=1 e a altura em z é x^{2}+y^{2}, não muito grande). O cálculo foi efetuado por redução da integral tripla para uma dupla sobre a projeção no plano xy e integração direta em coordenadas cartesianas.