Calcular volume dos domínios dados V no espaço tridimensional:
V=\left\{(x, y, z): y \geq x^{2} \wedge y \leq x \wedge x^{2}+y^{2} \leq z \leq 2\left(x^{2}+y^{2}\right)\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
V=\{(x,y,z): y \ge x^{2},\\ y \le x,\\ x^{2}+y^{2}\le z \le 2(x^{2}+y^{2})\}.
Pergunta explícita: calcular o volume do domínio tridimensional V.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Em z a região é entre as superfícies z_{\text{inf}}=x^{2}+y^{2} e z_{\text{sup}}=2(x^{2}+y^{2}).
  • A projeção D de V no plano xy é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem x^{2}\le y \le x.
  • Implicitamente, onde x^{2}\le x, isto é, para x tais que x(x-1)\le0, ou seja 0\le x\le1. Logo D está contido no primeiro quadrante, com x variando entre 0 e 1 e y variando entre x^{2} e x.

Passo 2

Estratégia e fórmula usada: o volume de V é dado pela integral tripla da função constante 1 sobre V:
\text{Vol}(V)=\iiint_{V} 1\,dV.
Como os limites em z são explícitos, podemos integrar primeiro em z e reduzir a tripla para uma dupla sobre D:
\text{Vol}(V)=\iint_{D} \bigl(z_{\text{sup}}-z_{\text{inf}}\bigr)\,dA = \iint_{D} \bigl(2(x^{2}+y^{2})-(x^{2}+y^{2})\bigr)\,dA = \iint_{D} (x^{2}+y^{2})\,dA.
Aqui usei a propriedade linear da integral e o fato de que integrar 1 de z_{\text{inf}} a z_{\text{sup}} z_{\text{sup}}-z_{\text{inf}}.

Passo 3

Descrever D de forma conveniente para integração em coordenadas cartesianas:
D=\{(x,y): 0\le x\le 1,\\ x^{2}\le y\le x\}.
Portanto o volume é
\text{Vol}(V)=\int_{x=0}^{1}\int_{y=x^{2}}^{x} (x^{2}+y^{2})\,dy\,dx.
Vou proceder integrando primeiro em y (integral interna) e depois em x.

Passo 4

Calcular a integral interna em y. As primitivais são fáceis:
\int (x^{2}+y^{2})\,dy = x^{2}y + \frac{1}{3}y^{3}.
Avaliar de y=x^{2} até y=x:
\int_{y=x^{2}}^{x} (x^{2}+y^{2})\,dy = \Bigl[x^{2}y + \frac{1}{3}y^{3}\Bigr]_{y=x^{2}}^{y=x} = \bigl(x^{2}\cdot x + \tfrac{1}{3}x^{3}\bigr) - \bigl(x^{2}\cdot x^{2} + \tfrac{1}{3}x^{6}\bigr).
Agora simplifico termo a termo:
x^{2}\cdot x = x^{3},\qquad x^{2}\cdot x^{2}=x^{4}.
Então o integrando reduzido em função de x é
x^{3} + \frac{1}{3}x^{3} - x^{4} - \frac{1}{3}x^{6} = \frac{4}{3}x^{3} - x^{4} - \frac{1}{3}x^{6}.

Passo 5

Agora integro em x de 0 a 1:
\text{Vol}(V)=\int_{0}^{1}\left(\frac{4}{3}x^{3} - x^{4} - \frac{1}{3}x^{6}\right)\,dx.
Calculo as primitivas termo a termo:
\int_{0}^{1}\frac{4}{3}x^{3}\,dx = \frac{4}{3}\cdot\frac{1}{4}x^{4}\Big|_{0}^{1}=\frac{1}{3},
\int_{0}^{1}x^{4}\,dx = \frac{1}{5},
\int_{0}^{1}\frac{1}{3}x^{6}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{7}=\frac{1}{21}.
Lembrando o sinal negativo dos dois últimos termos, obtemos
\text{Vol}(V)=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{21}.
Para somar, uso denominador comum 105:
\frac{1}{3}=\frac{35}{105},\qquad \frac{1}{5}=\frac{21}{105},\qquad \frac{1}{21}=\frac{5}{105}.
Assim
\text{Vol}(V)=\frac{35-21-5}{105}=\frac{9}{105}=\frac{3}{35}.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: o volume obtido é positivo e pequeno (faz sentido, dado que D é uma região limitada entre x=0 e x=1 e a altura em z é x^{2}+y^{2}, não muito grande). O cálculo foi efetuado por redução da integral tripla para uma dupla sobre a projeção no plano xy e integração direta em coordenadas cartesianas.

Resposta

\dfrac{3}{35}

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