Calcular volume dos domínios dados V no espaço tridimensional:
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do conjunto
Vou listar claramente as informações dadas:
- A condição sobre
diz que está entre e : isto é . - Há três desigualdades que restringem
no plano: -
(meio plano acima da reta ), -
(meio plano abaixo da reta ), -
(meio plano abaixo da reta ).
-
- A tarefa é calcular o volume do domínio tridimensional
.
Passo 2
Interpretação geométrica usada para montar a integral:
- Como para cada ponto
admissível temos , o volume pode ser obtido integrando a altura sobre a região no plano que é a projeção de em -plane. - Portanto, o volume é a integral dupla
onde
.
Passo 3
Determinar a região planar
com mais detalhe:
- As curvas/retas relevantes são
, e . - Vamos encontrar os pontos de interseção entre essas retas para entender o polígono
.
Calcule interseções:
- Entre
e : substituindo em dá , logo . Ponto . - Entre
e : implica . Ponto . - Entre
e : igualando dá então e . Ponto .
Esses três pontos
,
,
são vértices do triângulo
. A região
é o triângulo limitado por essas três retas, com
variando entre
e
.
Passo 4
Escolher ordem de integração e escrever os limites para a integral dupla:
- É conveniente integrar primeiro em
(para obter uma primitiva simples), e depois em . - Para um
fixo, as desigualdades e equivalem a - O intervalo de
é onde existe com . Isso dá - Juntando com
, obtemos . Para cada em ,
varia de até .
Portanto a integral é
Passo 5
Explicar a técnica de integração usada e calcular a integral interna:
- A integral interna em
é uma integral polinomial simples. Fórmulas que usarei: onde aqui é tratado como constante ao integrar em . - Então
Passo 6
Avaliar explicitamente a primitiva nos limites de
:
- Avaliando em
: - Avaliando em
: - Subtraindo, obtemos a função de
que será integrada em seguida:
Passo 7
Simplificar
passo a passo (expansões e combinação de termos):
- Expansão de
: - Portanto
- Próximo termo:
- Somando esses dois e subtraindo
dá - Agrupando coeficientes de cada potência de
: - termo constante:
, - termo em
: , - termo em
: , - termo em
: .
- termo constante:
Calcular coeficiente de
:
- Logo
Passo 8
Integrar
em
no intervalo
:
- Antiderivadas termo a termo (lembrando integrais básicas
):
- Assim uma primitiva é
- Avaliamos
.
Passo 9
Avaliar
e
e calcular a diferença:
- Calcular
: Avaliando termos: , , , e . Somando: - Calcular
: - Diferença:
Passo 10
Interpretação final e checagem rápida:
- Obtivemos para o volume o valor exato
. - Como checagem grosseira: em decimal isso dá aproximadamente
, o que é razoável dado o tamanho da base triangular e as alturas no domínio.