Calcular volume dos domínios dados V no espaço tridimensional:
V=\left\{(x, y, z): x^{2}+y^{2} \geq z \wedge y \geq 1 \wedge y \leq 2 x \wedge y \leq 6-x \wedge z \geq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
V=\{(x,y,z): x^{2}+y^{2}\ge z \wedge y\ge 1 \wedge y\le 2x \wedge y\le 6-x \wedge z\ge 0\}.
Vou listar claramente as informações dadas:
  • A condição sobre z diz que z está entre 0 e x^{2}+y^{2}: isto é 0\le z\le x^{2}+y^{2}.
  • Há três desigualdades que restringem (x,y) no plano:
    • y\ge 1 (meio plano acima da reta y=1),
    • y\le 2x (meio plano abaixo da reta y=2x),
    • y\le 6-x (meio plano abaixo da reta y=6-x).
  • A tarefa é calcular o volume do domínio tridimensional V.

Passo 2

Interpretação geométrica usada para montar a integral:
  • Como para cada ponto (x,y) admissível temos 0\le z\le x^{2}+y^{2}, o volume pode ser obtido integrando a altura x^{2}+y^{2} sobre a região no plano R que é a projeção de V em xy-plane.
  • Portanto, o volume é a integral dupla
V=\iint_{R}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA,
onde R=\{(x,y): y\ge 1,\; y\le 2x,\; y\le 6-x\}.

Passo 3

Determinar a região planar R com mais detalhe:
  • As curvas/retas relevantes são y=1, y=2x e y=6-x.
  • Vamos encontrar os pontos de interseção entre essas retas para entender o polígono R.
Calcule interseções:
  1. Entre y=1 e y=2x: substituindo y=1 em y=2x 1=2x, logo x=\tfrac{1}{2}. Ponto \bigl(\tfrac{1}{2},1\bigr).
  2. Entre y=1 e y=6-x: 1=6-x implica x=5. Ponto (5,1).
  3. Entre y=2x e y=6-x: igualando 2x=6-x 3x=6 então x=2 e y=2x=4. Ponto (2,4).
Esses três pontos \bigl(\tfrac{1}{2},1\bigr), (5,1), (2,4) são vértices do triângulo R. A região R é o triângulo limitado por essas três retas, com y variando entre 1 e 4.

Passo 4

Escolher ordem de integração e escrever os limites para a integral dupla:
  • É conveniente integrar primeiro em x (para obter uma primitiva simples), e depois em y.
  • Para um y fixo, as desigualdades y\le 2x e y\le 6-x equivalem a x\ge \frac{y}{2}\quad\text{e}\quad x\le 6-y.
  • O intervalo de y é onde existe x com \dfrac{y}{2}\le 6-y. Isso dá \frac{y}{2}\le 6-y \Rightarrow \frac{3}{2}y\le 6 \Rightarrow y\le 4.
  • Juntando com y\ge 1, obtemos 1\le y\le 4. Para cada y em [1,4],
    x varia de x=\dfrac{y}{2} até x=6-y.
Portanto a integral é
V=\int_{y=1}^{4}\left(\int_{x=\frac{y}{2}}^{\,6-y}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx\right)dy.

Passo 5

Explicar a técnica de integração usada e calcular a integral interna:
  • A integral interna em x é uma integral polinomial simples. Fórmulas que usarei: \int x^{2}\,dx=\frac{1}{3}x^{3},\qquad \int y^{2}\,dx=y^{2}x,onde aqui y é tratado como constante ao integrar em x.
  • Então
\int_{x=\frac{y}{2}}^{6-y}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx = \left[\frac{1}{3}x^{3}+y^{2}x\right]_{x=\frac{y}{2}}^{x=6-y}.

Passo 6

Avaliar explicitamente a primitiva nos limites de x:
  • Avaliando em x=6-y: \frac{1}{3}(6-y)^{3}+y^{2}(6-y).
  • Avaliando em x=\dfrac{y}{2}: \frac{1}{3}\left(\frac{y}{2}\right)^{3}+y^{2}\left(\frac{y}{2}\right) =\frac{1}{3}\cdot\frac{y^{3}}{8}+\frac{y^{3}}{2} =\frac{y^{3}}{24}+\frac{12y^{3}}{24}=\frac{13}{24}y^{3}.
  • Subtraindo, obtemos a função de y que será integrada em seguida: I(y)=\frac{1}{3}(6-y)^{3}+y^{2}(6-y)-\frac{13}{24}y^{3}.

Passo 7

Simplificar I(y) passo a passo (expansões e combinação de termos):
  • Expansão de (6-y)^{3}: (6-y)^{3}=216-108y+18y^{2}-y^{3}.
  • Portanto \frac{1}{3}(6-y)^{3}=72-36y+6y^{2}-\frac{1}{3}y^{3}.
  • Próximo termo: y^{2}(6-y)=6y^{2}-y^{3}.
  • Somando esses dois e subtraindo \dfrac{13}{24}y^{3} I(y)=\bigl(72-36y+6y^{2}-\tfrac{1}{3}y^{3}\bigr)+\bigl(6y^{2}-y^{3}\bigr)-\tfrac{13}{24}y^{3}.
  • Agrupando coeficientes de cada potência de y:
    • termo constante: 72,
    • termo em y: -36y,
    • termo em y^{2}: 6y^{2}+6y^{2}=12y^{2},
    • termo em y^{3}: -\tfrac{1}{3}y^{3}-y^{3}-\tfrac{13}{24}y^{3}.
Calcular coeficiente de y^{3}:
-\frac{1}{3}-1-\frac{13}{24}=-\frac{8}{24}-\frac{24}{24}-\frac{13}{24}=-\frac{45}{24}=-\frac{15}{8}.
  • Logo I(y)=72-36y+12y^{2}-\frac{15}{8}y^{3}.

Passo 8

Integrar I(y) em y no intervalo [1,4]:
  • Antiderivadas termo a termo (lembrando integrais básicas \int y^{n}dy=\dfrac{y^{n+1}}{n+1}): \int 72\,dy=72y,\qquad \int -36y\,dy=-18y^{2},\qquad \int 12y^{2}\,dy=4y^{3},
\int -\frac{15}{8}y^{3}\,dy=-\frac{15}{8}\cdot\frac{y^{4}}{4}=-\frac{15}{32}y^{4}.
  • Assim uma primitiva é F(y)=72y-18y^{2}+4y^{3}-\frac{15}{32}y^{4}.
  • Avaliamos F(4)-F(1).

Passo 9

Avaliar F(4) e F(1) e calcular a diferença:
  • Calcular F(4): F(4)=72\cdot4-18\cdot4^{2}+4\cdot4^{3}-\frac{15}{32}\cdot4^{4}.Avaliando termos: 72\cdot4=288, -18\cdot16=-288, 4\cdot64=256, 4^{4}=256 e -\frac{15}{32}\cdot256=-15\cdot8=-120. Somando: F(4)=288-288+256-120=136.
  • Calcular F(1): F(1)=72-18+4-\frac{15}{32}=58-\frac{15}{32}=\frac{1841}{32}.
  • Diferença: F(4)-F(1)=136-\frac{1841}{32}=\frac{4352}{32}-\frac{1841}{32}=\frac{2511}{32}.

Passo 10

Interpretação final e checagem rápida:
  • Obtivemos para o volume o valor exato \dfrac{2511}{32}.
  • Como checagem grosseira: em decimal isso dá aproximadamente 78{,}46875, o que é razoável dado o tamanho da base triangular e as alturas z=x^{2}+y^{2} no domínio.

Resposta

\dfrac{2511}{32}

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