Questão 5. Considere os três limites abaixo:
(I)
(II)
(III)
.
É correto afirmar que:
a os limites laterais de (II) são diferentes.
b) (III) é o único limite que dá
.
c os três limites são
.
d apenas (I) é
.
e nenhuma das anteriore
(I)
(II)
(III)
É correto afirmar que:
a os limites laterais de (II) são diferentes.
b) (III) é o único limite que dá
c os três limites são
d apenas (I) é
e nenhuma das anteriore
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão juntos! O enunciado apresenta três limites que precisamos analisar:
- (I)
- (II)
- (III)
O conteúdo que vamos precisar aqui é o de Cálculo de Limites, especificamente sobre limites laterais e comportamentos de funções polinomiais quando
se aproxima de um valor finito ou de
. Vamos resolver cada limite passo a passo para verificar qual das alternativas está correta.
Passo 2
Vamos começar com o limite (I):
Primeiro, observamos que
está se aproximando de 0 pela esquerda (
). Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente quando
está próximo de 0.
Numerador:
- Quando
aproxima de 0, e tendem a 0, então o numerador se aproxima de .
Denominador:
- Similarmente,
tende a 0 e tende a 0, mas precisamos verificar o sinal. Como está se aproximando de 0 pela esquerda, é negativo, então será positivo.
Portanto, o denominador está se aproximando de 0 positivo.
Então temos:
Passo 3
Agora, vamos para o limite (II):
Primeiro, tentamos substituir
:
Numerador:
Denominador:
Então, temos uma forma indefinida do tipo
. Para entender o comportamento, vamos analisar os limites laterais:
Como o denominador
é sempre positivo e se aproxima de 0, e o numerador
se aproxima de 4, ambos os limites laterais tendem a
. Portanto, os limites laterais são iguais.
Passo 4
Agora, vamos para o limite (III):
Para limites quando
tende ao infinito, olhamos para os termos de maior grau no numerador e no denominador.
No numerador, o termo de maior grau é
e no denominador é
.
Então, o comportamento é similar a:
Portanto, esse limite tende a
.
Passo 5
Agora, vamos analisar as alternativas:
a) os limites laterais de (II) são diferentes.
- Não, vimos que os dois limites laterais são iguais a
.
b) (III) é o único limite que dá
.
- O limite (I) tende a
e o limite (II) tende a , assim o limite (III) também tende a . Então, não é o único.
c) os três limites são
.
- Não, o limite (I) tende a
.
d) apenas (I) é
.
- Sim, apenas o limite (I) tende a
, enquanto (II) e (III) tendem a .
e) nenhuma das anteriores.
- Não, a alternativa d está correta.
Resposta
A alternativa d) apenas (I) é
está correta.