Questão 5. Considere os três limites abaixo:
(I) lim x 0^- 3 x^2+5 x-1x^2-2 x
(II) lim x 1 3 x+1x^2-2 x+1
(III) lim x +infty x^3+3 x+1x^2-1.
É correto afirmar que:
a os limites laterais de (II) são diferentes.
b) (III) é o único limite que dá +infty.
c os três limites são +infty.
d apenas (I) é -infty.
e nenhuma das anteriore

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão juntos! O enunciado apresenta três limites que precisamos analisar:
  • (I) lim x 0^- 3 x^2+5 x-1x^2-2 x
  • (II) lim x 1 3 x+1x^2-2 x+1
  • (III) lim x +infty x^3+3 x+1x^2-1
O conteúdo que vamos precisar aqui é o de Cálculo de Limites, especificamente sobre limites laterais e comportamentos de funções polinomiais quando x se aproxima de um valor finito ou de +infty. Vamos resolver cada limite passo a passo para verificar qual das alternativas está correta.

Passo 2

Vamos começar com o limite (I): lim x 0^- 3 x^2+5 x-1x^2-2 x
Primeiro, observamos que x está se aproximando de 0 pela esquerda ( 0^-). Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente quando x está próximo de 0.
Numerador: 3x^2 + 5x - 1
  • Quando x aproxima de 0, 3x^2 e 5x tendem a 0, então o numerador se aproxima de -1.
Denominador: x^2 - 2x
  • Similarmente, x^2 tende a 0 e -2x tende a 0, mas precisamos verificar o sinal. Como x está se aproximando de 0 pela esquerda, x é negativo, então -2x será positivo.
Portanto, o denominador está se aproximando de 0 positivo.
Então temos:
lim x 0^- -1número muito pequeno positivo = -infty ú

Passo 3

Agora, vamos para o limite (II): lim x 1 3 x+1x^2-2 x+1
Primeiro, tentamos substituir x = 1:
Numerador: 3(1) + 1 = 4
Denominador: 1^2 - 2(1) + 1 = 0
Então, temos uma forma indefinida do tipo 40. Para entender o comportamento, vamos analisar os limites laterais:
lim x 1^- 3x + 1(x - 1)^2
lim x 1^+ 3x + 1(x - 1)^2
Como o denominador (x - 1)^2 é sempre positivo e se aproxima de 0, e o numerador 3x + 1 se aproxima de 4, ambos os limites laterais tendem a +infty. Portanto, os limites laterais são iguais.

Passo 4

Agora, vamos para o limite (III): lim x +infty x^3+3 x+1x^2-1
Para limites quando x tende ao infinito, olhamos para os termos de maior grau no numerador e no denominador.
No numerador, o termo de maior grau é x^3 e no denominador é x^2.
Então, o comportamento é similar a:
lim x +infty x^3x^2 = lim x +infty x = +infty
Portanto, esse limite tende a +infty.

Passo 5

Agora, vamos analisar as alternativas:
a) os limites laterais de (II) são diferentes.
  • Não, vimos que os dois limites laterais são iguais a +infty.
b) (III) é o único limite que dá +infty.
  • O limite (I) tende a -infty e o limite (II) tende a +infty, assim o limite (III) também tende a +infty. Então, não é o único.
c) os três limites são +infty.
  • Não, o limite (I) tende a -infty.
d) apenas (I) é -infty.
  • Sim, apenas o limite (I) tende a -infty, enquanto (II) e (III) tendem a +infty.
e) nenhuma das anteriores.
  • Não, a alternativa d está correta.

Resposta

A alternativa d) apenas (I) é -infty está correta.

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