Questão 8. Considere a função
. É correto afirmar que:
a As retas
e
são as únicas assíntotas verticais de
.
b A reta
é a única assíntota vertical de
.
c A reta
é a única assíntota vertical de
.
d As retas
e
são as únicas assíntotas de
.
e Nenhumas das afirmativas anteriores está correta.
a As retas
b A reta
c A reta
d As retas
e Nenhumas das afirmativas anteriores está correta.
Passo 1
O enunciado pede para descobrir quais linhas verticais são assíntotas de
f(x)=sen
f(x)=sen
x/(x³−3x²+2x). O conteúdo é análise de assíntotas verticais: precisamos identificar raízes do denominador e ver onde f(x) tende a ±∞ ou é removível.
Passo 2
Vamos fatorar o denominador x³−3x²+2x. Note que
As raízes são x=0, x=1 e x=2.
Passo 3
Para x=0, o numerador sen
x também zera. Perto de x=0 usamos a aproximação sen
x≈x, logo
$$
f(x)=\frac{sen
f(x)=\frac{sen
x}{x(x−1)(x−2)}≈\frac{x}{x(x−1)(x−2)}=\frac1{(x−1)(x−2)}.
$$
Esse quociente tende a um valor finito quando x→0 (especificamente 1/2), então não há assíntota vertical em x=0, apenas ponto removível.
Esse quociente tende a um valor finito quando x→0 (especificamente 1/2), então não há assíntota vertical em x=0, apenas ponto removível.
Passo 4
Para x=1 e x=2, o denominador zera mas o numerador sen
1 e sen
2 são diferentes de zero. Isso faz f(x)→±∞ quando x→1± e x→2±, caracterizando assíntotas verticais em x=1 e em x=2.
Passo 5
Portanto, as únicas assíntotas verticais de f são as retas x=1 e x=2.
Resposta
A: As retas x=1 e x=2 são as únicas assíntotas verticais de f.