Questão 8. Considere a função f(x)=sen xx^3-3 x^2+2 x. É correto afirmar que:
a As retas x=1 e x=2 são as únicas assíntotas verticais de f.
b A reta x=0 é a única assíntota vertical de f.
c A reta x=2 é a única assíntota vertical de f.
d As retas x=0, x=1 e x=2 são as únicas assíntotas de f.
e Nenhumas das afirmativas anteriores está correta.

Passo 1

O enunciado pede para descobrir quais linhas verticais são assíntotas de
f(x)=sen
x/(x³−3x²+2x). O conteúdo é análise de assíntotas verticais: precisamos identificar raízes do denominador e ver onde f(x) tende a ±∞ ou é removível.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador x³−3x²+2x. Note que
x³−3x²+2x=x(x²−3x+2)=x(x−1)(x−2) ³²²
As raízes são x=0, x=1 e x=2.

Passo 3

Para x=0, o numerador sen
x também zera. Perto de x=0 usamos a aproximação sen
x≈x, logo
$$
f(x)=\frac{sen
x}{x(x−1)(x−2)}≈\frac{x}{x(x−1)(x−2)}=\frac1{(x−1)(x−2)}.
$$
Esse quociente tende a um valor finito quando x→0 (especificamente 1/2), então não há assíntota vertical em x=0, apenas ponto removível.

Passo 4

Para x=1 e x=2, o denominador zera mas o numerador sen
1 e sen
2 são diferentes de zero. Isso faz f(x)→±∞ quando x→1± e x→2±, caracterizando assíntotas verticais em x=1 e em x=2.

Passo 5

Portanto, as únicas assíntotas verticais de f são as retas x=1 e x=2.

Resposta

A: As retas x=1 e x=2 são as únicas assíntotas verticais de f.

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