(2,0) Calcular o volume molar do vapor de isopropanol a 200 \mathrm{Ce} 10,0 \mathrm{~atm} de pressão, empregando a equação de virial e a definição de fator de compressibilidade Z : (Utilize Newton- Raphson e tolerância de 0,002 fazer duas iterações-erro relativo). Lembrar que T (Kelvin) =\mathrm{T}( Celsius )+273 e \mathrm{R}=0,08209(\mathrm{~atm} \mathrm{~L}) / \mathrm{K} ( Escolha uma estimativa mais adequada é o volume do gás ideal \mathrm{z}=1 ).
\mathrm{Z}=1+\frac{B}{V}+\frac{C}{V^{2}} \quad, \quad \mathrm{Z}=\frac{P V}{R T} \text { Com } \mathrm{B}=-0,388 \mathrm{~L} / \mathrm{mol}, \mathrm{C}=-0,26000 \mathrm{~L} 2 / \mathrm{mol} 2

Passo 1

O enunciado pede o volume molar do vapor de isopropanol nas condições: temperatura 200^\circ\mathrm{C} e pressão 10{,}0\\ \mathrm{atm}, usando a equação de virial e a definição do fator de compressibilidade Z. Dados fornecidos e informações relevantes:
  • Temperatura: T( \mathrm{K}) = 200 + 273 = 473.
  • Pressão: P = 10{,}0\\ \mathrm{atm}.
  • Constante dos gases: R = 0{,}08209\\ \mathrm{atm\cdot L/(mol\cdot K)}.
  • Coeficientes de virial: B = -0{,}388\\ \mathrm{L/mol}, C = -0{,}26000\\ \mathrm{L^2/mol^2}.
  • Equações dadas: Z = 1 + \frac{B}{V} + \frac{C}{V^2}
Z = \frac{P V}{R T}
  • Método exigido: Newton–Raphson, realizar duas iterações e calcular o erro relativo (a tolerância mencionada é 0{,}002, mas faremos exatamente duas iterações conforme pedido).
  • Estimativa inicial sugerida: volume do gás ideal (ou seja, assumir Z=1 para começar).

Passo 2

Vamos transformar as equações em uma única equação para V. Igualando as expressões de Z:
\frac{P V}{R T} = 1 + \frac{B}{V} + \frac{C}{V^2}.
Definimos a função a ser zerada por Newton–Raphson como
f(V) = \frac{P}{R T}\,V - 1 - \frac{B}{V} - \frac{C}{V^2}.
Explicação do porquê: zerar f(V) é equivalente a satisfazer ambas as expressões para Z. Newton–Raphson usa a fórmula de iteração
V_{n+1} = V_n - \frac{f(V_n)}{f'(V_n)},
portanto precisamos também da derivada f'(V). Calculamos a derivada termo a termo:
  • Derivada de \dfrac{P}{R T}V em relação a V é \dfrac{P}{R T}.
  • Derivada de -\dfrac{B}{V} é +\dfrac{B}{V^2} (porque -B V^{-1}’ = -B)(-1)V^{-2}=B V^{-2}).
  • Derivada de -\dfrac{C}{V^2} é +\dfrac{2C}{V^3}.
Então
f'(V) = \frac{P}{R T} + \frac{B}{V^2} + \frac{2C}{V^3}.

Passo 3

Calculemos constantes numéricas iniciais e a estimativa inicial (gás ideal):
  • Primeiro R T:
R T = 0{,}08209 \times 473 = 38{,}83457\\ \mathrm{atm\cdot L/mol}.
  • Assim
\frac{P}{R T} = \frac{10{,}0}{38{,}83457} \approx 0{,}257464\\ \mathrm{L^{-1}}.
  • Estimativa inicial (volume do gás ideal):
V_0 = \frac{R T}{P} = \frac{38{,}83457}{10{,}0} = 3{,}883457\\ \mathrm{L/mol}.
(Aqui escolhemos V_0 porque o enunciado sugeriu começar pela hipótese Z=1.)

Passo 4

Explicando os termos que vamos calcular em cada iteração: para cada V_n precisamos calcular
f(V_n)=\frac{P}{R T}\,V_n - 1 - \frac{B}{V_n} - \frac{C}{V_n^2},
e
f'(V_n)=\frac{P}{R T} + \frac{B}{V_n^2} + \frac{2C}{V_n^3},
para então aplicar
V_{n+1}=V_n - \frac{f(V_n)}{f'(V_n)}.
Vou mostrar passo a passo os cálculos numéricos (com arredondamentos controlados) em cada iteração.

Passo 5

Iteração 1 (a partir de V_0 = 3{,}883457\\ \mathrm{L/mol}):
  • Calcule V_0^2 e V_0^3: V_0^2 \approx 15{,}081234,\qquad V_0^3 \approx 58{,}567339.
  • Calcule os termos \dfrac{B}{V_0} e \dfrac{C}{V_0^2}: \frac{B}{V_0} = \frac{-0{,}388}{3{,}883457} \approx -0{,}099945,
\frac{C}{V_0^2} = \frac{-0{,}26000}{15{,}081234} \approx -0{,}017243.
  • Calcule f(V_0): f(V_0)=\frac{P}{R T}V_0 -1 -\frac{B}{V_0}-\frac{C}{V_0^2}.Note que \dfrac{P}{R T}V_0 = 1 exatamente porque V_0 foi obtido por R T/P, então f(V_0) = 1 - 1 -(-0{,}099945) - (-0{,}017243) \approx 0{,}117188.
  • Calcule os termos da derivada: \frac{B}{V_0^2} = \frac{-0{,}388}{15{,}081234} \approx -0{,}025736,
\frac{2C}{V_0^3} = \frac{2(-0{,}26000)}{58{,}567339} \approx -0{,}008881.
Então
f'(V_0) \approx 0{,}257464 -0{,}025736 -0{,}008881 = 0{,}222847.
  • Aplicando Newton–Raphson: \Delta V = \frac{f(V_0)}{f'(V_0)} \approx \frac{0{,}117188}{0{,}222847} \approx 0{,}525998,
V_1 = V_0 - \Delta V \approx 3{,}883457 - 0{,}525998 = 3{,}357459\\ \mathrm{L/mol}.
Comentário prático: no primeiro passo o ajuste foi relativamente grande porque os termos viriais introduzem correções não desprezíveis ao volume ideal.

Passo 6

Iteração 2 (a partir de V_1 = 3{,}357459\\ \mathrm{L/mol}):
  • Calcule V_1^2 e V_1^3: V_1^2 \approx 11{,}272538,\qquad V_1^3 \approx 37{,}847075.
  • Calcule \dfrac{B}{V_1} e \dfrac{C}{V_1^2}: \frac{B}{V_1} = \frac{-0{,}388}{3{,}357459} \approx -0{,}115627,
\frac{C}{V_1^2} = \frac{-0{,}26000}{11{,}272538} \approx -0{,}023064.
  • Calcule f(V_1): \frac{P}{R T}V_1 \approx 0{,}257464\times 3{,}357459 \approx 0{,}864084,
f(V_1)=0{,}864084 -1 -(-0{,}115627) -(-0{,}023064) \approx 0{,}002775.
  • Calcule os termos da derivada: \frac{B}{V_1^2} = \frac{-0{,}388}{11{,}272538} \approx -0{,}034422,
\frac{2C}{V_1^3} = \frac{2(-0{,}26000)}{37{,}847075} \approx -0{,}013738,
f'(V_1) \approx 0{,}257464 -0{,}034422 -0{,}013738 = 0{,}209304.
  • Atualização Newton–Raphson: \Delta V = \frac{f(V_1)}{f'(V_1)} \approx \frac{0{,}002775}{0{,}209304} \approx 0{,}013266,
V_2 = V_1 - \Delta V \approx 3{,}357459 - 0{,}013266 = 3{,}344193\\ \mathrm{L/mol}.

Passo 7

Calcule o erro relativo entre as duas últimas iterações (usando a definição de erro relativo habitual \dfrac{|V_{n+1}-V_n|}{|V_{n+1}|}):
\text{erro relativo} \approx \frac{|3{,}344193-3{,}357459|}{3{,}344193} = \frac{0{,}013266}{3{,}344193} \approx 0{,}00397 \approx 0{,}397\%.
Comparação com a tolerância: a tolerância pedida era 0{,}002 (ou seja 0{,}2\% se interpretarmos como erro relativo). Após duas iterações o erro relativo é aproximadamente 0{,}00397 (ou 0{,}397\%), portanto ainda maior que a tolerância — mas o enunciado pediu explicitamente fazer duas iterações, o que já fizemos.

Resposta

V \approx 3{,}344193\\ \mathrm{L/mol}

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