(2,0) Calcular o volume molar do vapor de isopropanol a
de pressão, empregando a equação de virial e a definição de fator de compressibilidade Z : (Utilize Newton- Raphson e tolerância de 0,002 fazer duas iterações-erro relativo). Lembrar que T (Kelvin)
Celsius
e
( Escolha uma estimativa mais adequada é o volume do gás ideal
).
Passo 1
O enunciado pede o volume molar do vapor de isopropanol nas condições: temperatura
e pressão
, usando a equação de virial e a definição do fator de compressibilidade
. Dados fornecidos e informações relevantes:
- Temperatura:
. - Pressão:
. - Constante dos gases:
. - Coeficientes de virial:
, . - Equações dadas:
- Método exigido: Newton–Raphson, realizar duas iterações e calcular o erro relativo (a tolerância mencionada é
, mas faremos exatamente duas iterações conforme pedido). - Estimativa inicial sugerida: volume do gás ideal (ou seja, assumir
para começar).
Passo 2
Vamos transformar as equações em uma única equação para
. Igualando as expressões de
:
Definimos a função a ser zerada por Newton–Raphson como
Explicação do porquê: zerar
é equivalente a satisfazer ambas as expressões para
. Newton–Raphson usa a fórmula de iteração
portanto precisamos também da derivada
. Calculamos a derivada termo a termo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
é (porque ’ = ). - Derivada de
é .
Então
Passo 3
Calculemos constantes numéricas iniciais e a estimativa inicial (gás ideal):
- Primeiro
:
- Assim
- Estimativa inicial (volume do gás ideal):
(Aqui escolhemos
porque o enunciado sugeriu começar pela hipótese
.)
Passo 4
Explicando os termos que vamos calcular em cada iteração: para cada
precisamos calcular
e
para então aplicar
Vou mostrar passo a passo os cálculos numéricos (com arredondamentos controlados) em cada iteração.
Passo 5
Iteração 1 (a partir de
):
- Calcule
e : - Calcule os termos
e :
- Calcule
: Note que exatamente porque foi obtido por , então - Calcule os termos da derivada:
Então
- Aplicando Newton–Raphson:
Comentário prático: no primeiro passo o ajuste foi relativamente grande porque os termos viriais introduzem correções não desprezíveis ao volume ideal.
Passo 6
Iteração 2 (a partir de
):
- Calcule
e : - Calcule
e :
- Calcule
:
- Calcule os termos da derivada:
- Atualização Newton–Raphson:
Passo 7
Calcule o erro relativo entre as duas últimas iterações (usando a definição de erro relativo habitual
):
Comparação com a tolerância: a tolerância pedida era
(ou seja
se interpretarmos como erro relativo). Após duas iterações o erro relativo é aproximadamente
(ou
), portanto ainda maior que a tolerância — mas o enunciado pediu explicitamente fazer duas iterações, o que já fizemos.