(2.0 ) QUESTÃO
A corrente elétrica em um circuito varia com o tempo conforme a seguinte expressão:
I=9 \cdot e^{-t} \cdot \cos (2 \cdot \pi \cdot t+0.5)

(ÂNGULO EM RADIANO)

Deseja-se determinar o tempo no qual a corrente se iguala à metade do seu valor inicial (Quando t=0 ).
Efetue 2 iterações com o método de Newton-Raphson e adote como chute inicial t_{0}=0.2 \mathrm{~s}. tolerância =\varepsilon=0,0001
Determine o erro relativo a cada iteração.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o instante t em que a corrente elétrica atinge metade do seu valor inicial e efetuar exatamente 2 iterações do método de Newton-Raphson, usando o chute inicial t_{0}=0,2\\ \mathrm{s} e calcular o erro relativo a cada iteração.
Informações dadas e objetivos explícitos:
I(t)=9\cdot e^{-t}\cdot\cos\bigl(2\pi t+0.5\bigr).
Valor inicial (quando t=0):
I(0)=9\cos(0,5).
Queremos o tempo t tal que
I(t)=\tfrac{1}{2}I(0)=\tfrac{9}{2}\cos(0,5).
Devemos realizar 2 iterações de Newton-Raphson a partir de t_{0}=0,2\\ \mathrm{s} e calcular o erro relativo em cada iteração.

Passo 2

Transformação do problema em equação raiz (para aplicar Newton-Raphson). Subtraímos a metade do valor inicial para ficar com uma função cuja raiz corresponde ao instante desejado:
f(t)=9e^{-t}\cos\bigl(2\pi t+0,5\bigr)-\tfrac{9}{2}\cos(0,5).
Podemos dividir por 9 para simplificar:
f(t)=e^{-t}\cos\bigl(2\pi t+0,5\bigr)-\tfrac{1}{2}\cos(0,5).
Explicando o método: o método de Newton-Raphson aproxima a raiz por
t_{n+1}=t_{n}-\frac{f(t_{n})}{f'(t_{n})},
onde f'(t) é a derivada de f. Aqui usamos a regra do produto e cadeia para derivar e^{-t}\cos(2\pi t+0,5). Calculamos:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-t}\cos(2\pi t+0,5)\bigr)= -e^{-t}\cos\bigl(2\pi t+0,5\bigr)-2\pi e^{-t}\sin\bigl(2\pi t+0,5\bigr).
Logo
f'(t)=-e^{-t}\Bigl(\cos\bigl(2\pi t+0,5\bigr)+2\pi\sin\bigl(2\pi t+0,5\bigr)\Bigr).
Fórmula do erro relativo que vou usar (prática comum em iterações):
\varepsilon_{\text{rel},n}=\left|\frac{t_{n}-t_{n-1}}{t_{n}}\right|.
Vou mostrar passo a passo os cálculos numéricos nas duas iterações, arredondando os resultados intermediários apenas para facilitar a leitura, mas mantendo precisão suficiente para os erros.

Passo 3

Iteração 1 (a partir de t_{0}=0,2\\ \mathrm{s}).
  1. Calcular f(t_{0}). Primeiro o ângulo:
\theta_{0}=2\pi t_{0}+0,5=2\pi(0,2)+0,5\approx 1,75663706.
Usando aproximações séries para sen/cos (ou calculadora mental cuidadosa):
\cos(\theta_{0})\approx -0,184772883,\qquad e^{-t_{0}}=e^{-0,2}\approx 0,8187307531.
Então
f(t_{0})=e^{-t_{0}}\cos(\theta_{0})-\tfrac{1}{2}\cos(0,5) \approx 0,8187307531\cdot(-0,184772883)-0,5\cdot 0,877582562 \approx -0,151278 -0,438791281 \approx -0,590069281.
  1. Calcular f'(t_{0}). Precisamos de \sin(\theta_{0}):
\sin(\theta_{0})\approx 0,9827797.
Portanto
f'(t_{0})=-e^{-t_{0}}\bigl(\cos(\theta_{0})+2\pi\sin(\theta_{0})\bigr) \approx -0,8187307531\bigl(-0,184772883+6,283185307\cdot 0,9827797\bigr) \approx -4,904398.
  1. Aplicando Newton-Raphson:
t_{1}=t_{0}-\frac{f(t_{0})}{f'(t_{0})} =0,2-\frac{-0,590069281}{-4,904398} \approx 0,2-0,120314 \approx 0,079686.

Passo 4

Erro relativo após a iteração 1. Usando a fórmula escolhida:
\varepsilon_{\text{rel},1}=\left|\frac{t_{1}-t_{0}}{t_{1}}\right| =\left|\frac{0,079686-0,2}{0,079686}\right| =\frac{0,120314}{0,079686}\approx 1,5094\\ (\text{decimal})\approx 150,94\%.
Comentário rápido: o primeiro passo mudou bastante o valor (erro relativo grande). É normal no início, depende do chute inicial e da forma de f.

Passo 5

Iteração 2 (a partir de t_{1}\approx 0,079686\\ \mathrm{s}).
  1. Calcular o ângulo e funções trigonométricas:
\theta_{1}=2\pi t_{1}+0,5\approx 2\pi(0,079686)+0,5\approx 1,000681905.
Usando expansão linear em torno de 1 rad para acelerar:
\cos(\theta_{1})\approx 0,5397287,\qquad \sin(\theta_{1})\approx 0,8418396.
E
e^{-t_{1}}\approx e^{-0,079686}\approx 0,923408.
  1. Calcular f(t_{1}):
f(t_{1})=e^{-t_{1}}\cos(\theta_{1})-\tfrac{1}{2}\cos(0,5) \approx 0,923408\cdot 0,5397287 -0,438791281 \approx 0,4977897-0,438791281 \approx 0,0589984.
  1. Calcular f'(t_{1}):
f'(t_{1})=-e^{-t_{1}}\bigl(\cos(\theta_{1})+2\pi\sin(\theta_{1})\bigr) \approx -0,923408\bigl(0,5397287+6,283185307\cdot 0,8418396\bigr) \approx -5,3824.
  1. Aplicar Newton-Raphson para obter t_{2}:
t_{2}=t_{1}-\frac{f(t_{1})}{f'(t_{1})} \approx 0,079686-\frac{0,0589984}{-5,3824} \approx 0,079686+0,0109567 \approx 0,0906427.

Passo 6

Erro relativo após a iteração 2:
\varepsilon_{\text{rel},2}=\left|\frac{t_{2}-t_{1}}{t_{2}}\right| =\left|\frac{0,0906427-0,079686}{0,0906427}\right| =\frac{0,0109567}{0,0906427}\approx 0,120925\\ (\text{decimal}) \approx 12,0925\%.

Resposta

\displaystyle t_{1}=0,079686\\ \mathrm{s};\\ \varepsilon_{\text{rel},1}=1,5094\\ (\text{ou }150{,}94\%)
\displaystyle t_{2}=0,0906427\\ \mathrm{s};\\ \varepsilon_{\text{rel},2}=0,120925\\ (\text{ou }12{,}0925\%)

Exercícios relacionados