Suponha que a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge.
Prove que
\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a informação: a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge.
A pergunta é: provar que
\lim_{n\to\infty} a_{n} = 0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Foi dada a convergência da série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, ou seja, os somatórios parciais têm limite finito.
  • Não foram dadas outras hipóteses sobre a_n (podem ser números reais, por exemplo).

Passo 2

Definir os somatórios parciais e escrever a relação entre a_n e esses somatórios.
Seja
S_n=\sum_{k=1}^{n} a_k
o n-ésimo somatório parcial da série. A hipótese de convergência da série significa exatamente que existe um número real S tal que
\lim_{n\to\infty} S_n = S.
Observe que, para n\ge 2,
a_n = S_n - S_{n-1},
pois ao subtrair o somatório com n-1 termos do somatório com n termos sobra apenas o termo a_n. (Para n=1 temos a_1=S_1, que também se encaixa na ideia.)

Passo 3

Lembrar a propriedade de limites que vamos usar e justificar intuitivamente.
Uma propriedade básica de limites de sequências é: se x_n\to L e y_n\to M então x_n-y_n\to L-M. A justificativa rápida usa a desigualdade triangular e o fato de que ambos x_n e y_n ficam arbitrariamente próximos de seus limites quando n é grande.
No nosso caso temos S_n\to S e também S_{n-1}\to S (porque deslocar o índice em uma unidade não muda o limite). Aplicando a propriedade acima com x_n=S_n e y_n=S_{n-1} dará que
a_n = S_n - S_{n-1} \longrightarrow S - S = 0.
A seguir farei uma prova \varepsilon-formal para ficar bem claro como fazer isso numa prova de prova.

Passo 4

Prova formal usando o argumento \varepsilon- \delta (aqui \varepsilon- N para sequências).
Seja \varepsilon>0. Como S_n\to S, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo m\ge N,
|S_m - S| < \frac{\varepsilon}{2}.
Escolha esse N. Agora, para qualquer n\ge N+1 temos tanto n\ge N+1\ge N quanto n-1\ge N, então
|S_n - S| < \frac{\varepsilon}{2} \qquad\text{e}\qquad |S_{n-1} - S| < \frac{\varepsilon}{2}.
Usando a desigualdade triangular,
|a_n| = |S_n - S_{n-1}| = |(S_n - S) - (S_{n-1} - S)| \le |S_n - S| + |S_{n-1} - S| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Portanto, para todo n\ge N+1 vale |a_n|<\varepsilon. Isso mostra exatamente que
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.

Passo 5

Comentário alternativo curto (versão conceitual).
Como S_n\to S e S_{n-1}\to S, tomando limite na identidade a_n=S_n-S_{n-1} e usando a linearidade do limite obtemos
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} S_n - \lim_{n\to\infty} S_{n-1} = S - S = 0.
Isto é mais curto, mas a prova \varepsilon-acima é a forma “mão na massa” que dá o mesmo resultado de forma rigorosa.

Passo 6

Observação importante (para não se confundir na prova): o recíproco é falso. Ou seja, a_n\to 0 não implica que \sum a_n converge. Exemplo clássico: para a_n=\dfrac{1}{n} tem-se \lim_{n\to\infty} a_n = 0 mas a série \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} (a série harmônica) diverge. Então a condição necessária que provamos (se a série converge então os termos vão a zero) não é suficiente para garantir a convergência da série.

Passo 7

Resumo final e ânimo: mostramos rigorosamente que a convergência da série implica que os termos isolados a_n vão a zero, usando a definição de somatórios parciais e um argumento \varepsilon- N. Bom trabalho em acompanhar a demonstração — é um resultado curto, mas super importante para usar em provas!

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n} = 0

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