Suponha que a série
converge.
Prove que
Prove que
Passo 1
O enunciado nos dá a informação: a série
converge.
A pergunta é: provar que
A pergunta é: provar que
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Foi dada a convergência da série
, ou seja, os somatórios parciais têm limite finito. - Não foram dadas outras hipóteses sobre
(podem ser números reais, por exemplo).
Passo 2
Definir os somatórios parciais e escrever a relação entre
e esses somatórios.
Seja
o
-ésimo somatório parcial da série. A hipótese de convergência da série significa exatamente que existe um número real
tal que
Observe que, para
,
pois ao subtrair o somatório com
termos do somatório com
termos sobra apenas o termo
. (Para
temos
, que também se encaixa na ideia.)
Passo 3
Lembrar a propriedade de limites que vamos usar e justificar intuitivamente.
Uma propriedade básica de limites de sequências é: se
e
então
. A justificativa rápida usa a desigualdade triangular e o fato de que ambos
e
ficam arbitrariamente próximos de seus limites quando
é grande.
No nosso caso temos
e também
(porque deslocar o índice em uma unidade não muda o limite). Aplicando a propriedade acima com
e
dará que
A seguir farei uma prova
-formal para ficar bem claro como fazer isso numa prova de prova.
Passo 4
Prova formal usando o argumento
-
(aqui
-
para sequências).
Seja
. Como
, existe
tal que, para todo
,
Escolha esse
. Agora, para qualquer
temos tanto
quanto
, então
Usando a desigualdade triangular,
Portanto, para todo
vale
. Isso mostra exatamente que
Passo 5
Comentário alternativo curto (versão conceitual).
Como
e
, tomando limite na identidade
e usando a linearidade do limite obtemos
Isto é mais curto, mas a prova
-acima é a forma “mão na massa” que dá o mesmo resultado de forma rigorosa.
Passo 6
Observação importante (para não se confundir na prova): o recíproco é falso. Ou seja,
não implica que
converge. Exemplo clássico: para
tem-se
mas a série
(a série harmônica) diverge. Então a condição necessária que provamos (se a série converge então os termos vão a zero) não é suficiente para garantir a convergência da série.
Passo 7
Resumo final e ânimo: mostramos rigorosamente que a convergência da série implica que os termos isolados
vão a zero, usando a definição de somatórios parciais e um argumento
-
. Bom trabalho em acompanhar a demonstração — é um resultado curto, mas super importante para usar em provas!