Calcular o volume do sólido acima do plano
delimitado por
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é calcular o volume do sólido que está acima do plano $ xy $ e é limitado pela superfície $ z = 4 - 2x^{2} - 2y^{2} $. Para isso, vamos usar o conceito de integral dupla, que é uma ferramenta da matemática para calcular volumes de regiões no espaço. Vamos precisar entender como configurar essa integral para encontrar o volume desejado.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender onde a superfície $ z = 4 - 2x^{2} - 2y^{2} $ cruza o plano $ xy $. Isso acontece quando $ z = 0 $. Então, igualamos a equação a zero:
Vamos resolver para $ x $ e $ y $:
Essa equação representa um círculo com raio $ \sqrt{2} $ no plano $ xy $. Então, a região de integração é dentro desse círculo.
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas polares, já que a região de integração é circular. Nas coordenadas polares, $ x = r\cos\theta $ e $ y = r\sin\theta $, onde $ r $ é a distância do ponto à origem e $ \theta $ é o ângulo com o eixo $ x $.
A equação da superfície em coordenadas polares fica:
E a área do círculo é definida por $ 0 \leq r \leq \sqrt{2} $ e $ 0 \leq \theta \leq 2\pi $.
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular o volume. A fórmula geral para o volume $ V $ é:
Em coordenadas polares, $ dA = r , dr , d\theta $. Substituindo $ z $:
Isso simplifica para:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ r $:
Integrando termo a termo:
Aplicando os limites de integração:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Integrando:
Resposta
O volume do sólido é $ 4\pi $ unidades cúbicas.