Problema 17 (Muito difícil). Prove que se
é convergente, então
satisfaz
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que se uma sequência
converge para algum limite
, então as médias parciais
também convergem para o mesmo
. Vamos usar ferramentas de análise de limites de sequências e estimativas com
.
Passo 2
Seja
. Pela definição de convergência, para cada
existe um
tal que para todo
vale
Esse é o ponto de partida: além de alguns termos iniciais (até
), todos os demais
estão dentro de
de
.
Passo 3
Para estimar
, escrevemos
Separamos a soma em duas partes: dos índices de 1 a
(um número fixo de termos) e de
a
:
Na segunda soma, para
temos
, e há
termos, então
Passo 4
No primeiro termo
a soma é sobre um número fixo
de valores; seja
um número constante. Então
que tende a zero quando
.
Passo 5
Juntando as estimativas, para todo
e para
suficientemente grande (de modo que
e
), temos
Como isso vale para qualquer
, concluímos que
.