Problema 17 (Muito difícil). Prove que se Mn:=1n sumk=1^n ak é convergente, então
lim n infty Mn=lim n infty an
satisfaz .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que se uma sequência an converge para algum limite L, então as médias parciais Mn = 1nsumk=1^n ak também convergem para o mesmo L. Vamos usar ferramentas de análise de limites de sequências e estimativas com varepsilon.

Passo 2

Seja L = limntoinfty an. Pela definição de convergência, para cada varepsilon>0 existe um N tal que para todo k>= N vale
|ak - L| < varepsilon
Esse é o ponto de partida: além de alguns termos iniciais (até N-1), todos os demais ak estão dentro de varepsilon de L.

Passo 3

Para estimar |Mn - L|, escrevemos
Mn - L = 1n sumk=1^n (ak - L)
Separamos a soma em duas partes: dos índices de 1 a N-1 (um número fixo de termos) e de N a n:
|Mn - L| <= 1n sumk=1^N-1 |ak - L| + 1n sumk=N^n |ak - L|
Na segunda soma, para k>= N temos |ak - L| < varepsilon, e há n-N+1 termos, então
1n sumk=N^n |ak - L| < n - N + 1n varepsilon <= varepsilon

Passo 4

No primeiro termo 1n sumk=1^N-1 |ak - L| a soma é sobre um número fixo N-1 de valores; seja
C = sumk=1^N-1 |ak - L|,
um número constante. Então
1n sumk=1^N-1 |ak - L| = Cn,
que tende a zero quando ntoinfty.

Passo 5

Juntando as estimativas, para todo varepsilon>0 e para n suficientemente grande (de modo que n> N e C/n), temos
|Mn - L| < Cn + varepsilon < 2varepsilon
Como isso vale para qualquer varepsilon>0, concluímos que Mnto L.

Resposta

limntoinfty Mn = limntoinfty an.

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