Calcular o volume do sólido delimitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=9 e pelo plano x+y=3, no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante (ou seja, x\ge0, y\ge0, z\ge0) delimitado pelas superfícies
  1. o cilindro lateral
x^{2}+y^{2}=9,
  1. o plano vertical
x+y=3.

Passo 2

Para entender a forma do sólido, primeiro projetamos na base xy. A região de projeção D é
D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x^{2}+y^{2}\le9,\;x+y\le3\}.
Note que D é um domínio compacto em \mathbb{R}^2.

Passo 3

Agora, em cada ponto (x,y)\in D, o sólido se estende em z para cima, mas não há nenhuma superfície superior que limite z. O único limite dado para z é o plano do primeiro octante
z=0,
ou seja,
0\le z<+\infty.

Passo 4

O volume seria dado pela integral iterada
V=\iint_{D}\Bigl(\int_{0}^{+\infty}dz\Bigr)\,dA.
Mas
\int_{0}^{+\infty}dz = +\infty,
logo a integral diverge.

Resposta

O volume do sólido é infinito (não converge a um valor finito).

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