Calcular o volume do sólido delimitado por z=4-4 x-2 y e os planos coordenados. (Tetraedro)

Passo 1

O enunciado pede o volume do tetraedro limitado pelo plano z=4-4x-2y e pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0. O conteúdo é cálculo de volume por fórmula de tetraedro com interceptos nos eixos.

Passo 2

Encontramos os interceptos do plano com os eixos:
Quando y=0 e z=0:
0 = 4 - 4x \implies x = 1.
Quando x=0 e z=0:
0 = 4 - 2y \implies y = 2.
Quando x=0 e y=0:
z = 4.
Logo os interceptos são (1,0,0), (0,2,0) e (0,0,4).

Passo 3

Recordamos que, para um tetraedro cujos vértices tocam os eixos nos pontos (a,0,0), (0,b,0), (0,0,c), o volume é
V = \frac{a\,b\,c}{6}.

Passo 4

Aplicando a=1, b=2, c=4 na fórmula:
V = \frac{1 \cdot 2 \cdot 4}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}.

Resposta

V = \frac{4}{3}.

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