(15.0 pontos) Dada a função f(x)=x^{2}(x-3)^{2}, determine:
a. As derivadas f^{\prime}(x) e f^{\prime \prime}(x).
b. Os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
c. Os pontos criticos e classifique-os em máximos e mínimos.
d. Os pontos de inflexāo e os intervalos em que a função tem concavidade voltada pra baixo e/ou pra cima.
e. As assintotas verticais e horizontais, caso existam.
f. O esboço do gráfico da função.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x^{2}(x-3)^{2}
e pede:
a) f'(x) e f''(x).
b) intervalos de crescimento/decrescimento.
c) pontos críticos e classificação em máximos/mínimos.
d) pontos de inflexão e intervalos de concavidade.
e) assíntotas verticais e horizontais.
f) esboço do gráfico.
O conteúdo fundamental envolve cálculo de derivadas, estudo de sinal de f' e f'', e características de polinômios.

Passo 2

Para derivar, é conveniente expandir f:
f(x)=x^{2}(x-3)^{2}=x^{4}-6x^{3}+9x^{2}.
Derivando,
f'(x)=4x^{3}-18x^{2}+18x =2x\bigl(2x^{2}-9x+9\bigr) =2x(x-3)(2x-3).
Derivando de novo,
f''(x)=12x^{2}-36x+18 =6\bigl(2x^{2}-6x+3\bigr).

Passo 3

Raízes de f' em x=0,\;x=3/2,\;x=3. Estude o sinal de f' em cada intervalo:
  • Para x<0: 2x<0, (x-3)<0, (2x-3)<0 \Rightarrow produto <0 \Rightarrow decresce.
  • Para 0<x<3/2: 2x>0, (x-3)<0, (2x-3)<0 \Rightarrow produto >0 \Rightarrow cresce.
  • Para 3/2<x<3: 2x>0, (x-3)<0, (2x-3)>0 \Rightarrow produto <0 \Rightarrow decresce.
  • Para x>3: todos os fatores positivos \Rightarrow cresce.

Passo 4

Os pontos críticos são x=0,\,3/2,\,3. Classificação pelo sinal de f' ou pelo teste da segunda derivada:
  • Em x=0: f' troca de negativo para positivo e f''(0)=18>0 \Rightarrow mínimo local em (0,0).
  • Em x=3/2: f' de positivo para negativo e f''(3/2)=-9<0 \Rightarrow máximo local em \bigl(3/2,81/16\bigr).
  • Em x=3: f' de negativo para positivo e f''(3)=18>0 \Rightarrow mínimo local em (3,0).

Passo 5

Pontos de inflexão onde f''(x)=0:
2x^{2}-6x+3=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac{3\pm\sqrt{3}}{2}.
Como f'' é um quadrático com coeficiente positivo, temos:
  • Concavidade para cima em \bigl(-\infty,\,(3-\sqrt{3})/2\bigr) e em \bigl((3+\sqrt{3})/2,\infty\bigr).
  • Concavidade para baixo em \bigl((3-\sqrt{3})/2,\,(3+\sqrt{3})/2\bigr).

Passo 6

f é um polinômio de grau 4, logo não tem assíntotas verticais nem horizontais (nem oblíquas).

Passo 7

Esboço:
  • Zeros em x=0 e x=3, ambos mínimos com f=0.
  • Máximo em x=3/2 com f=81/16.
  • Inflect points em x=(3\pm\sqrt{3})/2.
  • Decresce até 0, cresce até 3/2, decresce até 3, cresce depois; concavidade muda nos inflexões.
    O gráfico é uma “colina” centrada em x=3/2, simétrico em torno de x=3/2.

Resposta

a)
f'(x)=2x(x-3)(2x-3), \quad f''(x)=12x^{2}-36x+18.
b)
Cresce em (0,3/2)\cup(3,\infty), decresce em (-\infty,0)\cup(3/2,3).
c)
Pontos críticos e classificação:
(0,0)\text{ mínimo},\quad \bigl(\tfrac32,\tfrac{81}{16}\bigr)\text{ máximo},\quad (3,0)\text{ mínimo}.íáí
d)
Pontos de inflexão em x=(3\pm\sqrt{3})/2.
Concavidade para cima em (-\infty,(3-\sqrt{3})/2)\cup((3+\sqrt{3})/2,\infty),
para baixo em ((3-\sqrt{3})/2,(3+\sqrt{3})/2).
e)
Não há assíntotas verticais nem horizontais.
f)
Esboço conforme descrito no passo anterior: zeros em 0 e 3, pico em 3/ 2, simetria em torno de x=3/2.

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