(15.0 pontos) Dada a função
, determine:
a. As derivadas
e
.
b. Os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
c. Os pontos criticos e classifique-os em máximos e mínimos.
d. Os pontos de inflexāo e os intervalos em que a função tem concavidade voltada pra baixo e/ou pra cima.
e. As assintotas verticais e horizontais, caso existam.
f. O esboço do gráfico da função.
a. As derivadas
b. Os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
c. Os pontos criticos e classifique-os em máximos e mínimos.
d. Os pontos de inflexāo e os intervalos em que a função tem concavidade voltada pra baixo e/ou pra cima.
e. As assintotas verticais e horizontais, caso existam.
f. O esboço do gráfico da função.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede:
a) e
.
b) intervalos de crescimento/decrescimento.
c) pontos críticos e classificação em máximos/mínimos.
d) pontos de inflexão e intervalos de concavidade.
e) assíntotas verticais e horizontais.
f) esboço do gráfico.
O conteúdo fundamental envolve cálculo de derivadas, estudo de sinal de e
, e características de polinômios.
a)
b) intervalos de crescimento/decrescimento.
c) pontos críticos e classificação em máximos/mínimos.
d) pontos de inflexão e intervalos de concavidade.
e) assíntotas verticais e horizontais.
f) esboço do gráfico.
O conteúdo fundamental envolve cálculo de derivadas, estudo de sinal de
Passo 2
Para derivar, é conveniente expandir
:
Derivando,
Derivando de novo,
Passo 3
Raízes de
em
. Estude o sinal de
em cada intervalo:
- Para
: , , produto decresce. - Para
: , , produto cresce. - Para
: , , produto decresce. - Para
: todos os fatores positivos cresce.
Passo 4
Os pontos críticos são
. Classificação pelo sinal de
ou pelo teste da segunda derivada:
- Em
: troca de negativo para positivo e mínimo local em . - Em
: de positivo para negativo e máximo local em . - Em
: de negativo para positivo e mínimo local em .
Passo 5
Pontos de inflexão onde
:
Como
é um quadrático com coeficiente positivo, temos:
- Concavidade para cima em
e em . - Concavidade para baixo em
.
Passo 6
Passo 7
Esboço:
- Zeros em
e , ambos mínimos com . - Máximo em
com . - Inflect points em
. - Decresce até
, cresce até , decresce até , cresce depois; concavidade muda nos inflexões.
O gráfico é uma “colina” centrada em, simétrico em torno de .
Resposta
a)
b)
Cresce em , decresce em
.
Cresce em
c)
Pontos críticos e classificação:
Pontos críticos e classificação:
d)
Pontos de inflexão em .
Concavidade para cima em ,
para baixo em .
Pontos de inflexão em
Concavidade para cima em
para baixo em
e)
Não há assíntotas verticais nem horizontais.
Não há assíntotas verticais nem horizontais.
f)
Esboço conforme descrito no passo anterior: zeros em e
, pico em
/
, simetria em torno de
.
Esboço conforme descrito no passo anterior: zeros em