Encontre a área da região limitada pelas curvas x=y^{2}+1, x+y=3.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela parábola x = y^{2} + 1 e pela reta x + y = 3. O conteúdo é cálculo de área de região no plano usando integrais: vamos encontrar os pontos de interseção, expressar a largura em função de y e integrar em relação a y.

Passo 2

Para achar os valores de y onde as curvas se encontram, substituímos x da parábola na reta:
y^{2} + 1 + y = 3.
Isso leva a
y^{2} + y - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (y+2)(y-1)=0,
logo as interseções ocorrem em y=-2 e y=1.

Passo 3

Para cada y\in[-2,1], a abscissa à esquerda é dada pela parábola x_{L}=y^{2}+1 e à direita pela reta x_{R}=3-y. Assim a área é
\int_{y=-2}^{1}\bigl(x_{R}-x_{L}\bigr)\,dy = \int_{-2}^{1}\bigl[(3-y)-(y^{2}+1)\bigr]\,dy = \int_{-2}^{1}\bigl(2 - y - y^{2}\bigr)\,dy.

Passo 4

Calculamos a primitiva de 2 - y - y^{2}:
\int(2 - y - y^{2})\,dy =2y - \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{3}}{3}.
Avaliando de -2 a 1:
\Bigl[2y - \tfrac{y^{2}}{2} - \tfrac{y^{3}}{3}\Bigr]_{-2}^{1} = \bigl(2 - \tfrac12 - \tfrac13\bigr) - \bigl(-4 - 2 + \tfrac{8}{3}\bigr) = \frac{7}{6} - \bigl(-\tfrac{10}{3}\bigr) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \frac{9}{2}.

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