Calcular o volume do sólido delimitado pelas seguintes superficies:
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa calcular o volume do sólido que está limitado pelas superfícies , e . Isso faz parte da matéria de cálculo integral, mais especificamente no estudo de integrais duplas para encontrar volumes. Para resolver, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e usar coordenadas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as superfícies que delimitam o sólido. A equação representa um cilindro circular de raio 2, alinhado ao longo do eixo . A superfície é o plano , e é um plano inclinado que corta o cilindro.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares. Em coordenadas polares, e , e a equação do cilindro fica , ou seja, . Isso simplifica os limites para e .
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração. Como o cilindro tem raio 2, varia de 0 a 2. O ângulo completa uma volta completa, então varia de 0 a .
Para a altura , ela vai de até . Em coordenadas polares, , então a altura fica .