Calcular o volume do sólido delimitado pelas seguintes superficies:
x^2+y^2=4, z=8-y e z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa calcular o volume do sólido que está limitado pelas superfícies x^2+y^2=4, z=8-y e z=0. Isso faz parte da matéria de cálculo integral, mais especificamente no estudo de integrais duplas para encontrar volumes. Para resolver, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e usar coordenadas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as superfícies que delimitam o sólido. A equação x^2+y^2=4 representa um cilindro circular de raio 2, alinhado ao longo do eixo z. A superfície z=0 é o plano xy, e z=8-y é um plano inclinado que corta o cilindro.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares. Em coordenadas polares, x = r cos theta e y = r sin theta, e a equação do cilindro fica r^2 = 4, ou seja, r = 2. Isso simplifica os limites para r e theta.

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. Como o cilindro tem raio 2, r varia de 0 a 2. O ângulo theta completa uma volta completa, então varia de 0 a 2pi.
Para a altura z, ela vai de z=0 até z=8-y. Em coordenadas polares, y = r sin theta, então a altura fica z = 8 - r sin theta.

Passo 5

Vamos montar a integral para calcular o volume V:
V = integral0^2pi integral0^2 integral0^8 - r sin theta r , dz , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a z:
integral0^8 - r sin theta dz = 8 - r sin theta
Então, a integral fica:
V = integral0^2pi integral0^2 r (8 - r sin theta) , dr , dtheta
Vamos separar essa integral em duas partes:
V = integral0^2pi integral0^2 8r , dr , dtheta - integral0^2pi integral0^2 r^2 sin theta , dr , dtheta
Calculando a primeira parte:
integral0^2 8r , dr = 8 [ r^22 ]0^2 = 8 ( 42 - 0 ) = 16
E a segunda parte:
integral0^2 r^2 , dr = [ r^33 ]0^2 = 83
Agora, substituindo de volta:
V = integral0^2pi 16 , dtheta - integral0^2pi 83 sin theta , dtheta
Integrando em relação a theta:
integral0^2pi 16 , dtheta = 16 theta g|0^2pi = 32pi
integral0^2pi 83 sin theta , dtheta = 83 ( -cos theta ) g|0^2pi = 83 ( -cos 2pi + cos 0 ) = 0
Então, o volume total é:
V = 32pi

Resposta

O volume do sólido é 32pi unidades cúbicas.

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