Calcule as integrais abaixo usando uma substituição trigonométrica adequada.
integral 1raiza^2+x^2 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de $ \frac{1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} $ em relação a $ x $. Esse tipo de integral pertence ao estudo de integração por substituição trigonométrica, que é uma técnica usada para integrar funções que envolvem expressões quadráticas sob uma raiz.

Passo 2

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica adequada. Observamos que a expressão $ \sqrt{a^{2} + x^{2}} $ se assemelha à identidade trigonométrica $ 1 + \tan^{2} \theta = \sec^{2} \theta $. Então, podemos fazer a substituição $ x = a \tan \theta $.

Passo 3

Com $ x = a \tan \theta $, precisamos encontrar $ dx $ em termos de $ \theta $. Derivando ambos os lados em relação a $ \theta $, temos:
x = a tan theta

Passo 4

Agora, substituímos $ x $ e $ dx $ na integral original:
x

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
raiza^2 + a^2 tan^2 theta = a raiz1 + tan^2 theta = a sec theta
Então, a integral fica:
integral 1a sec theta cdot a sec^2 theta , dtheta = integral sec theta , dtheta

Passo 6

A integral de $ \sec \theta $ é uma integral padrão:
sec theta
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Agora, precisamos retornar à variável original $ x $. Lembrando que $ x = a \tan \theta $, podemos desenhar um triângulo retângulo onde o cateto oposto é $ x $, o cateto adjacente é $ a $, e a hipotenusa é $ \sqrt{a^{2} + x^{2}} $. Assim:
x
Substituindo na expressão da integral:
x = a tan theta

Resposta

A integral de $ \frac{1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} , dx $ é:
1raiza^2 + x^2 , dx
onde $ C $ é a constante de integração.

Exercícios relacionados