Calcule as integrais abaixo usando uma substituição trigonométrica adequada.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de $ \frac{1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} $ em relação a $ x $. Esse tipo de integral pertence ao estudo de integração por substituição trigonométrica, que é uma técnica usada para integrar funções que envolvem expressões quadráticas sob uma raiz.
Passo 2
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica adequada. Observamos que a expressão $ \sqrt{a^{2} + x^{2}} $ se assemelha à identidade trigonométrica $ 1 + \tan^{2} \theta = \sec^{2} \theta $. Então, podemos fazer a substituição $ x = a \tan \theta $.
Passo 3
Com $ x = a \tan \theta $, precisamos encontrar $ dx $ em termos de $ \theta $. Derivando ambos os lados em relação a $ \theta $, temos:
Passo 4
Agora, substituímos $ x $ e $ dx $ na integral original:
Passo 5
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
A integral de $ \sec \theta $ é uma integral padrão:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Agora, precisamos retornar à variável original $ x $. Lembrando que $ x = a \tan \theta $, podemos desenhar um triângulo retângulo onde o cateto oposto é $ x $, o cateto adjacente é $ a $, e a hipotenusa é $ \sqrt{a^{2} + x^{2}} $. Assim:
Substituindo na expressão da integral:
Resposta
A integral de $ \frac{1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} , dx $ é:
onde $ C $ é a constante de integração.