Encontre a soma das seguintes séries:
2+23+29+227+ldots

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a soma da série:
2 + 23 + 29 + 227 + ldots
Esse exercício está relacionado ao estudo de séries geométricas, que é um tópico de matemática que lida com a soma de termos que têm uma relação constante entre si. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como calcular sua soma.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da série. Observamos que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por um número fixo. Vamos ver:
  • Primeiro termo: $ a = 2 $
  • Segundo termo: $ \frac{2}{3} $
  • Terceiro termo: $ \frac{2}{9} $
  • Quarto termo: $ \frac{2}{27} $
  • E assim por diante…
Percebemos que cada termo está sendo multiplicado por $ \frac{1}{3} $ para chegar ao próximo termo. Esse número constante é chamado de razão da série geométrica ($ r $).

Passo 3

Agora que identificamos o primeiro termo ($ a = 2 a = 2 ã r = \frac{1}{3} $), podemos usar a fórmula da soma dos termos de uma série geométrica infinita. A fórmula é:
r = 13
Mas atenção! Essa fórmula só funciona se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, $ |r| < 1 $.

Passo 4

Vamos verificar se a condição $ |r| < 1 $ é satisfeita no nosso caso. Temos:
|r| < 1
E como $ \frac{1}{3} < 1 $, a condição é satisfeita e podemos usar a fórmula.

Passo 5

Agora, vamos aplicar os valores na fórmula:
S = 21 - 13 = 223 = 2 times 32 = 3

Resposta

A soma da série é 3.

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