Encontre a soma das seguintes séries:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a soma da série:
Esse exercício está relacionado ao estudo de séries geométricas, que é um tópico de matemática que lida com a soma de termos que têm uma relação constante entre si. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como calcular sua soma.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da série. Observamos que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por um número fixo. Vamos ver:
- Primeiro termo: $ a = 2 $
- Segundo termo: $ \frac{2}{3} $
- Terceiro termo: $ \frac{2}{9} $
- Quarto termo: $ \frac{2}{27} $
- E assim por diante…
Percebemos que cada termo está sendo multiplicado por $ \frac{1}{3} $ para chegar ao próximo termo. Esse número constante é chamado de razão da série geométrica ($ r $).
Passo 3
Agora que identificamos o primeiro termo ($ a = 2
r = \frac{1}{3} $), podemos usar a fórmula da soma dos termos de uma série geométrica infinita. A fórmula é:
Mas atenção! Essa fórmula só funciona se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, $ |r| < 1 $.
Passo 4
Vamos verificar se a condição $ |r| < 1 $ é satisfeita no nosso caso. Temos:
E como $ \frac{1}{3} < 1 $, a condição é satisfeita e podemos usar a fórmula.
Passo 5
Agora, vamos aplicar os valores na fórmula:
Resposta
A soma da série é 3.