Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de LHospital.
lim x pi / 2(xcotg x-pi2 cos x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular usando as regras de L’Hôpital. O conteúdo é limites de formas indeterminadas e vamos precisar de manipulação algébrica para passar de limx to pi/2l(xcotg x-pi2cos xr) para infty-infty e então aplicar L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro percebemos que, ao aproximar x de pi/2, temos e x/cotg xtoinfty, ou seja, forma pi/(2cos x)toinfty. Para usar L’Hôpital, transformamos a diferença em quociente.
Usamos infty-infty e cot x=cos xsin x. Então
tan x=sin xcos x
Agora o limite fica xtan x-pi2cos x = xsin xcos x-pi2cos x = 2xsin x-pi2cos x . Substituindo limxtopi/22xsin x-pi2cos x dá numerador x=pi/2 e denominador 2cdot(pi/2)cdot1-pi=0, ou seja, forma 2cdot0=0.

Passo 3

Como temos 0/0, aplicamos L’Hôpital: derivamos numerador e denominador separadamente. A derivada de 2xsin x-pi é 2sin x+2xcos x e a de 2cos x é -2sin x. Assim o limite vira
limxtopi/22sin x+2xcos x-2sin x

Passo 4

Por fim, substituindo x=pi/2 temos 2sin(pi/2)+2(pi/2)cos(pi/2)=2 no numerador e -2sin(pi/2))=-2 no denominador. Logo o valor do limite é 2/(-2)=-1.

Resposta

-1

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