Calcule \int_{C} F \cdot d r, em que F(x, y)=\left(x^{2}+y, 2 x-y^{2}\right) e C é a fronteira (orientada positivamente) de uma região D com área igual a 6 .

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
\displaystyle \int_{C}F\cdot d r,
onde
F(x,y)=\bigl(x^{2}+y,\;2x - y^{2}\bigr)
e C é a fronteira orientada positivamente de uma região D com área igual a 6.
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao duplo integral sobre D.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, se P(x,y) e Q(x,y) são as componentes de F, temos
\int_{C}P\,dx + Q\,dy \;=\;\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Aqui
P(x,y)=x^{2}+y, \quad Q(x,y)=2x - y^{2}.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(2x - y^{2}) =2, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y) =1.

Passo 3

Substituindo em Green, o integrando torna-se
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =2-1=1.
Logo
\int_{C}F\cdot dr =\iint_{D}1\,dA =\text{Área}(D) =6.Á

Resposta

6

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