Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada pelas curvas y=x^2 e y=2-x^2. Faça o gráfico das funções. (0,075)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo dos x, a região delimitada pelas curvas y = x^2 e y = 2 - x^2. O conteúdo usado será o método dos discos (ou anéis), em que precisamos achar os pontos de interseção, esboçar o gráfico, determinar os raios externo e interno e montar a integral de volume.

Passo 2

Primeiro, encontramos os pontos de interseção resolvendo x^2 = 2 - x^2, que dá 2x^2 = 2 e, assim, x = pm 1. No esboço, y = x^2 é uma parábola de vértice em (0,0) virada para cima, e y = 2 - x^2 é uma parábola de vértice em (0,2) virada para baixo. A região fica entre x = -1 e x = 1, entre a curva superior y = 2 - x^2 e a inferior y = x^2.
Ao girar em torno do eixo x, cada fatia em x gera um disco com raio externo R(x) = 2 - x^2 e raio interno r(x) = x^2. A fórmula do volume é
V = pi integral-1^1 l[R(x)^2 - r(x)^2r] ,dx

Passo 3

Calculamos o integrando:
R(x)^2 - r(x)^2 = (2 - x^2)^2 - (x^2)^2 = 4 - 4x^2 + x^4 - x^4 = 4 - 4x^2

Passo 4

Logo,
V = pi integral-1^1 l(4 - 4x^2r) ,dx

Passo 5

A primitiva de 4 - 4x^2 é 4x - tfrac4x^33. Avaliando de -1 a 1:
V = pi l[4x - tfrac4x^33r]-1^1 = pi l[(4 - tfrac43) - (-4 + tfrac43)r] = pi l(tfrac83 + tfrac83r) = tfrac16pi3

Resposta

V = tfrac16pi3

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