Dada a função aceleração a(t)=9pi^2 cos (3 tpi)(m / s^2), sabendo que a(t)=d vd t, a velocidade inicial, v(0)=0 m / s e a posição inicial de um corpo que se desloca ao longo de uma reta, s(0)=-1 m. Encontre:
a posição do corpo no instante t. percorrida durante o tempo dado.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a posição s(t) de um corpo que se desloca ao longo de uma reta, dada a aceleração a(t)=9pi^2cosl(tfrac3tpir), sabendo que a(t)=tfracdvdt, com v(0)=0 e s(0)=-1. Vamos precisar integrar sucessivamente a aceleração para obter a velocidade e depois a posição, aplicando as condições iniciais.

Passo 2

Para obter a velocidade v(t), integramos a aceleração:
v(t)=integral a(t),dt=integral 9pi^2cosl(3tpir),dt

Passo 3

Fazendo a substituição u=tfrac3tpi, temos du=tfrac3pidt e dt=tfracpi3du. Assim:
v(t)=9pi^2cdotpi3integral cos(u),du=3pisinl(3tpir)+C1

Passo 4

Usando a condição inicial v(0)=0, obtemos sin(0)=0, logo C1=0. Portanto:
v(t)=3pisinl(3tpir)

Passo 5

Agora, para achar a posição s(t), integramos v(t):
s(t)=integral v(t),dt=integral 3pisinl(3tpir),dt

Passo 6

Repetindo a substituição u=tfrac3tpi, dt=tfracpi3du, vem:
s(t)=3picdotpi3integral sin(u),du=-cosl(3tpir)+C2

Passo 7

Aplicando s(0)=-1, temos -cos(0)+C2=-1 -1)+C2=-1 C2=0. Assim:
s(t)=-cosl(3tpir)

Passo 8

A distância percorrida de 0 até t é a integral do valor absoluto da velocidade. Como para t>=0 até o primeiro pico sinl(tfrac3tpir)>=0, basta integrar v(t):
D(t)=integral0^tv(tau),dtau=s(t)-s(0)=-cosl(tfrac3tpir)-(-1)=1-cosl(tfrac3tpir)

Resposta

s(t) = -\cos\bigl(\tfrac{3t}{\pi}\bigr)\ \mathrm{m},\quad distância percorridaD(t)=1-\cos\bigl(\tfrac{3t}{\pi}\bigr)\ \mathrm{m}.

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