Dada a função aceleração
, sabendo que
, a velocidade inicial,
e a posição inicial de um corpo que se desloca ao longo de uma reta,
. Encontre:
a posição do corpo no instante
. percorrida durante o tempo dado.
a posição do corpo no instante
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a posição s(t) de um corpo que se desloca ao longo de uma reta, dada a aceleração
, sabendo que
, com
e
. Vamos precisar integrar sucessivamente a aceleração para obter a velocidade e depois a posição, aplicando as condições iniciais.
Passo 2
Para obter a velocidade
, integramos a aceleração:
Passo 3
Fazendo a substituição
, temos
e
. Assim:
Passo 4
Usando a condição inicial
, obtemos
, logo
. Portanto:
Passo 5
Agora, para achar a posição
, integramos
:
Passo 6
Repetindo a substituição
,
, vem:
Passo 7
Aplicando
, temos
→
→
. Assim:
Passo 8
A distância percorrida de 0 até
é a integral do valor absoluto da velocidade. Como para
até o primeiro pico
, basta integrar
:
Resposta
s(t) = -\cos\bigl(\tfrac{3t}{\pi}\bigr)\ \mathrm{m},\quad distância percorridaD(t)=1-\cos\bigl(\tfrac{3t}{\pi}\bigr)\ \mathrm{m}.