Considere:
f(x)=l 5 x+3 se x<1 x^3+1 se x >= 1 e g(x)=ll 4-x & se x<3 x-1 & se x >= 3
Preencha as lacunas com os valores corretos dos limites abaixo (um número em cada lacuna):
l lim x 3 f circ g(x)= lim x 3^+ f circ g(x)=
square
square

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas funções, e , definidas por partes. Nosso objetivo é encontrar os limites de quando se aproxima de 3, tanto pelo lado esquerdo quanto pelo lado direito. Para resolver isso, vamos precisar entender como compor essas funções e aplicar os conceitos de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que vamos substituir a saída da função na função . Então, .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função g(x) = 4 - x & se x < 3 x - 1 & se x >= 3 . Ela é definida por partes:
Como estamos calculando o limite quando se aproxima de 3, precisamos considerar o comportamento de próximo a 3.

Passo 4

Vamos calcular g(3) = 3 - 1 = 2 :
Como está na segunda parte da definição ( ):
Então, .

Passo 5

Agora, vamos compor f(x) = 5x + 3 & se x < 1 x^3 + 1 & se x >= 1 . Para isso, precisamos entender a função f(2) = 2^3 + 1 = 8 + 1 = 9 :
Como e 2 é maior que 1, usamos a segunda parte da definição de :
Então, .

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite limx to 3 f(g(x)) = f(g(3)) = 9 .
Como é contínua em (não há mudança abrupta na definição de ), e também é contínua em , podemos simplesmente substituir:

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite pelo lado direito, g(x) = x - 1 .
Para g(x) = x - 1 implies limx to 3^+ g(x) = 3 - 1 = 2 próximo a 3 pelo lado positivo ( f(2) = 2^3 + 1 = 9 ), usamos a definição de para :
Então,
Aplica-se novamente na função :

Resposta

l lim x 3 f circ g(x)= 9 lim x 3^+ f circ g(x)= 9

Exercícios relacionados