Calcular o volume do sólido limitado por \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1 e pelo interior de \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=\frac{1}{2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, e quais são os dados importantes.
  • O enunciado fornece duas superfícies:
    • A elipsoide \displaystyle \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1.
    • O cilindro elíptico (região no plano xy) definido por \displaystyle \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=\frac{1}{2}; a região interior corresponde a \displaystyle \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}\le\frac{1}{2}.
  • O sólido pedido é o conjunto de pontos que estão dentro da elipsoide e cujo projeta no plano xy pertence à região interior da elipse \displaystyle \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=\frac{1}{2}. Ou seja, todos os pontos (x,y,z) tais que \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}\le\frac{1}{2} \qquad\text{e}\qquad \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}\le1.
  • O que a questão pede: calcular o volume desse sólido.

Passo 2

Estratégia (explicada): reduzimos o cálculo do volume a uma integral dupla sobre a região D no plano xy (a interior da elipse \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=\frac{1}{2}). Para sólidos cujas faces superior e inferior são dadas por z=z_{top}(x,y) e z=z_{bot}(x,y), o volume é
V=\iint_{D}\bigl(z_{top}(x,y)-z_{bot}(x,y)\bigr)\,dA.
Aqui a elipsoide dá duas funções z=\pm\sqrt{1-\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}}. Logo o “espessura” vertical é 2\sqrt{1-\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}}. Então
V=\iint_{D} 2\sqrt{1-\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}}\,dA.
Para facilitar a integração sobre a região elíptica D, faremos uma mudança de variável que transforma a elipse em um círculo — é o truque clássico: usar coordenadas elípticas/alongadas.

Passo 3

Expressar z_{top} e z_{bot}. Da elipsoide:
z^{2}=1-\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4},
portanto
z_{top}(x,y)=\sqrt{1-\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}},\qquad z_{bot}(x,y)=-\sqrt{1-\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}}.
Assim a integrand é, como dito,
2\sqrt{1-\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}}.

Passo 4

Definir a mudança de variáveis apropriada. Para transformar a família de elipses \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=r^{2} em círculos usamos
x=3r\cos\theta,\qquad y=2r\sin\theta,
onde r\ge0 e 0\le\theta<2\pi. Nesta parametrização a quantidade \displaystyle\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=r^{2}. A região D dada por \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}\le\frac{1}{2} vira 0\le r\le\sqrt{\tfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, 0\le\theta<2\pi.

Passo 5

Calcular o Jacobiano (fator de escala da área) da transformação (r,\theta)\mapsto(x,y).
  • As derivadas parciais são \frac{\partial x}{\partial r}=3\cos\theta,\quad \frac{\partial x}{\partial\theta}=-3r\sin\theta,
\frac{\partial y}{\partial r}=2\sin\theta,\quad \frac{\partial y}{\partial\theta}=2r\cos\theta.
  • O Jacobiano é o determinante da matriz desses vetores: J=\det\begin{pmatrix} 3\cos\theta & -3r\sin\theta\\[4pt] 2\sin\theta & 2r\cos\theta \end{pmatrix} =3\cdot2\,r(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=6r.
Portanto dA = |J|\,dr\,d\theta = 6r\,dr\,d\theta.
Explanação rápida do que o Jacobiano faz: ele converte a área infinitesimal dr\,d\theta na área real dx\,dy através do fator 6r. No caso polar clássico o fator é r; aqui a escala extra 6 vem dos alongamentos x por 3 e y por 2.]

Passo 6

Substituir tudo na integral do volume. Temos
V=\iint_{D} 2\sqrt{1-\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}}\,dx\,dy.
Com x=3r\cos\theta,\\ y=2r\sin\theta isso vira (usar que \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=r^{2} e dx\,dy=6r\,dr\,d\theta):
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1/\sqrt{2}} 2\sqrt{1-r^{2}}\; (6r)\,dr\,d\theta.
Juntar constantes:
V=12\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1/\sqrt{2}} r\sqrt{1-r^{2}}\,dr\,d\theta.

Passo 7

Calcular a integral em r. Primeiro a integral interna
I=\int_{0}^{1/\sqrt{2}} r\sqrt{1-r^{2}}\,dr.
Uma maneira rápida de resolver é reconhecer uma primitiva: considere u=1-r^{2}. Então du=-2r\,dr, ou r\,dr=-\tfrac{1}{2}du. Quando r=0 tem u=1; quando r=1/\sqrt{2} tem u=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}. Assim
I=\int_{u=1}^{1/2} \sqrt{u}\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right) =-\tfrac{1}{2}\int_{1}^{1/2} u^{1/2}\,du =\tfrac{1}{2}\int_{1/2}^{1} u^{1/2}\,du.
Agora calcular a integral de u^{1/2}:
\int u^{1/2}\,du=\tfrac{2}{3}u^{3/2},
portanto
I=\tfrac{1}{2}\left[\tfrac{2}{3}u^{3/2}\right]_{u=1/2}^{1} =\tfrac{1}{3}\Bigl(1^{3/2}-(\tfrac{1}{2})^{3/2}\Bigr) =\tfrac{1}{3}\Bigl(1-\tfrac{1}{2^{3/2}}\Bigr).
Observação: \dfrac{1}{2^{3/2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}, se quiser escrever com \sqrt{2}.

Passo 8

Retornar para V. Lembrando que a integral em \theta dá um fator 2\pi, temos
V=12\cdot\left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\cdot I =12\cdot(2\pi)\cdot \tfrac{1}{3}\Bigl(1-\tfrac{1}{2^{3/2}}\Bigr).
Simplificar:
V=24\pi\cdot\tfrac{1}{3}\Bigl(1-\tfrac{1}{2^{3/2}}\Bigr) =8\pi\Bigl(1-\tfrac{1}{2^{3/2}}\Bigr).
Usando \dfrac{1}{2^{3/2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4} obtemos também a forma simplificada
V=8\pi\Bigl(1-\tfrac{\sqrt{2}}{4}\Bigr)=8\pi-\;2\pi\sqrt{2}=2\pi\bigl(4-\sqrt{2}\bigr).

Resposta

\;V=2\pi\bigl(4-\sqrt{2}\bigr)

Exercícios relacionados