Calcular o volume do sólido limitado por
e pelo interior de
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, e quais são os dados importantes.
- O enunciado fornece duas superfícies:
- A elipsoide
. - O cilindro elíptico (região no plano
) definido por ; a região interior corresponde a .
- A elipsoide
- O sólido pedido é o conjunto de pontos que estão dentro da elipsoide e cujo projeta no plano
pertence à região interior da elipse . Ou seja, todos os pontos tais que - O que a questão pede: calcular o volume desse sólido.
Passo 2
Estratégia (explicada): reduzimos o cálculo do volume a uma integral dupla sobre a região
no plano
(a interior da elipse
). Para sólidos cujas faces superior e inferior são dadas por
e
, o volume é
Aqui a elipsoide dá duas funções
. Logo o “espessura” vertical é
. Então
Para facilitar a integração sobre a região elíptica
, faremos uma mudança de variável que transforma a elipse em um círculo — é o truque clássico: usar coordenadas elípticas/alongadas.
Passo 3
Expressar
e
. Da elipsoide:
portanto
Assim a integrand é, como dito,
Passo 4
Definir a mudança de variáveis apropriada. Para transformar a família de elipses
em círculos usamos
onde
e
. Nesta parametrização a quantidade
. A região
dada por
vira
,
.
Passo 5
Calcular o Jacobiano (fator de escala da área) da transformação
.
- As derivadas parciais são
- O Jacobiano é o determinante da matriz desses vetores:
Portanto
.
Explanação rápida do que o Jacobiano faz: ele converte a área infinitesimal
na área real
através do fator
. No caso polar clássico o fator é
; aqui a escala extra
vem dos alongamentos
por
e
por
.]
Passo 6
Substituir tudo na integral do volume. Temos
Com
isso vira (usar que
e
):
Juntar constantes:
Passo 7
Calcular a integral em
. Primeiro a integral interna
Uma maneira rápida de resolver é reconhecer uma primitiva: considere
. Então
, ou
. Quando
tem
; quando
tem
. Assim
Agora calcular a integral de
:
portanto
Observação:
, se quiser escrever com
.
Passo 8
Retornar para
. Lembrando que a integral em
dá um fator
, temos
Simplificar:
Usando
obtemos também a forma simplificada