Em cada caso calcule, via integral dupla, a área da região
do plano
delimitada pelas curvas indicadas:
e
;
Passo 1
O enunciado pede a área da região
do plano
delimitada pelas curvas
-
, -
, -
, -
.
Pergunta explícita: calcular, via integral dupla, a área da região
.
Informações relevantes dadas:
- As retas verticais de fronteira são
e . - As curvas superior e inferior em função de
são e , respectivamente (a confirmar). - A região está contida entre
e .
Passo 2
Antes de montar a integral, é preciso decidir qual curva é a superior (maior
) e qual é a inferior sobre o intervalo
. Isso garante a ordem de integração correta.
Vamos comparar as duas funções para um
genérico em
.
- Para
tem-se , então (ou seja, negativo). - Para
tem-se e, em particular, .
Logo, em
temos
portanto
é a curva superior e
é a curva inferior no intervalo dado. Esta verificação é importante para montar a integral corretamente.
Passo 3
Regra geral: a área de uma região plana
pode ser escrita como integral dupla da função constante
sobre
,
Para regiões do tipo "entre duas curvas em
" com
variando entre
e
, usa-se a escrita
onde
e
são as curvas inferior e superior.
No nosso caso
,
,
e
. Assim a integral que calcula a área é
Passo 4
Calcular a integral interna em
. Como o integrando é
,
Portanto a área reduz-se à integral de uma função de
:
Passo 5
Agora calculamos a primitiva (antiderivada) de cada termo. Relembrando regras básicas de integrais:
- Regra da potência: para
, . - Aplicando ao termo
: . - Para
(que é ), usar a regra da potência com : .
Assim uma primitiva para
é
Passo 6
Avaliar a integral definida de
a
usando
:
Calcule cada parte:
Subtraindo: