Em cada caso calcule, via integral dupla, a área da região D do plano x y delimitada pelas curvas indicadas:
D: x=1, x=2, y=-x^{2} e y=1 / x^{2};

Passo 1

O enunciado pede a área da região D do plano xy delimitada pelas curvas
  • x=1,
  • x=2,
  • y=-x^{2},
  • y=\dfrac{1}{x^{2}}.
Pergunta explícita: calcular, via integral dupla, a área da região D.
Informações relevantes dadas:
  • As retas verticais de fronteira são x=1 e x=2.
  • As curvas superior e inferior em função de x são y=\dfrac{1}{x^{2}} e y=-x^{2}, respectivamente (a confirmar).
  • A região está contida entre x=1 e x=2.

Passo 2

Antes de montar a integral, é preciso decidir qual curva é a superior (maior y) e qual é a inferior sobre o intervalo 1\le x\le2. Isso garante a ordem de integração correta.
Vamos comparar as duas funções para um x genérico em [1,2].
  • Para x\ge1 tem-se x^{2}\ge1, então -x^{2}\le -1 (ou seja, negativo).
  • Para x\ge1 tem-se \dfrac{1}{x^{2}}\le 1 e, em particular, \dfrac{1}{x^{2}}>0.
Logo, em 1\le x\le2 temos
\frac{1}{x^{2}}>0>-x^{2},
portanto \dfrac{1}{x^{2}} é a curva superior e -x^{2} é a curva inferior no intervalo dado. Esta verificação é importante para montar a integral corretamente.

Passo 3

Regra geral: a área de uma região plana D pode ser escrita como integral dupla da função constante 1 sobre D,
\text{Área}(D)=\iint_{D} 1\,dA.Á
Para regiões do tipo "entre duas curvas em y" com x variando entre a e b, usa-se a escrita
\iint_{D}1\,dA=\int_{x=a}^{b}\left(\int_{y=y_{\text{inf}}(x)}^{y_{\text{sup}}(x)} 1\,dy\right)dx,
onde y_{\text{inf}}(x) e y_{\text{sup}}(x) são as curvas inferior e superior.
No nosso caso a=1, b=2, y_{\text{inf}}(x)=-x^{2} e y_{\text{sup}}(x)=\dfrac{1}{x^{2}}. Assim a integral que calcula a área é
\text{Área}(D)=\int_{1}^{2}\left(\int_{-x^{2}}^{1/x^{2}} 1\,dy\right)dx.Á

Passo 4

Calcular a integral interna em y. Como o integrando é 1,
\int_{-x^{2}}^{1/x^{2}} 1\,dy = \left. y \right|_{y=-x^{2}}^{y=1/x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} - (-x^{2}) = \frac{1}{x^{2}} + x^{2}.
Portanto a área reduz-se à integral de uma função de x:
\text{Área}(D)=\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x^{2}}+x^{2}\right)dx.Á

Passo 5

Agora calculamos a primitiva (antiderivada) de cada termo. Relembrando regras básicas de integrais:
  • Regra da potência: para n\neq -1, \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}.
  • Aplicando ao termo x^{2}: \displaystyle \int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
  • Para x^{-2} (que é \dfrac{1}{x^{2}}), usar a regra da potência com n=-2: \displaystyle \int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac{1}{x}.
Assim uma primitiva para \dfrac{1}{x^{2}}+x^{2} é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{1}{x}.

Passo 6

Avaliar a integral definida de 1 a 2 usando F(x):
\text{Área}(D)=\left. \left(\frac{x^{3}}{3}-\frac{1}{x}\right)\right|_{1}^{2} = \left(\frac{2^{3}}{3}-\frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1^{3}}{3}-\frac{1}{1}\right).Á
Calcule cada parte:
\frac{2^{3}}{3}-\frac{1}{2}=\frac{8}{3}-\frac{1}{2}=\frac{16-3}{6}=\frac{13}{6},
\frac{1^{3}}{3}-1=\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}.
Subtraindo:
\frac{13}{6}-\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{13}{6}+\frac{2}{3}=\frac{13}{6}+\frac{4}{6}=\frac{17}{6}.

Resposta

\dfrac{17}{6}

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