Calcular o volume do solido limitado por z=0 e z=4-2 x^2-2 y^2 (fiber a interpretaçâo geométrica).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies e . Esse tipo de problema está ligado ao cálculo de integrais múltiplas, especificamente para encontrar volumes entre superfícies. Vamos precisar usar coordenadas cartesianas e conhecimentos de integrais duplas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que delimitam o sólido. A superfície é simplesmente o plano , e é uma parábola que abre para baixo. Para visualizar, imagine uma tigela invertida formando um teto sobre o plano .

Passo 3

Para encontrar o volume entre essas superfícies, precisamos determinar a região de integração no plano 0 = 4 - 2x^2 - 2y^2 implies 2x^2 + 2y^2 = 4 implies x^2 + y^2 = 2 . Isso acontece onde as duas superfícies se interceptam. Então, vamos igualar a :
Isso nos mostra que a projeção da região no plano é um círculo de raio .

Passo 4

Agora, configuramos a integral dupla para calcular o volume. Em coordenadas cartesianas, a integral será:
V = integral integralD (4 - 2x^2 - 2y^2) , dA
Onde é o círculo .

Passo 5

Para facilitar a integração, é mais conveniente mudar para coordenadas polares. Lembrando que e , e o elemento de área . A equação do círculo fica , então varia de 0 a e de 0 a .

Passo 6

Reescrevemos a integral em coordenadas polares:
V = integral0^2pi integral0^raiz2 (4 - 2r^2) r , dr , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^raiz2 (4 - 2r^2) r , dr = integral0^raiz2 (4r - 2r^3) , dr
Integrando termo a termo:
= [2r^2 - 12r^4 ]0^raiz2 = (2(raiz2)^2 - 12(raiz2)^4) - 0 = (2 times 2) - 12 times 4 = 4 - 2 = 2

Passo 8

Agora, integramos o resultado com respeito a V = integral0^2pi 2 , dtheta = 2theta gr|0^2pi = 2 times 2pi - 0 = 4pi :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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