Calcular o volume do solido limitado por e (fiber a interpretaçâo geométrica).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies e . Esse tipo de problema está ligado ao cálculo de integrais múltiplas, especificamente para encontrar volumes entre superfícies. Vamos precisar usar coordenadas cartesianas e conhecimentos de integrais duplas para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies que delimitam o sólido. A superfície é simplesmente o plano , e é uma parábola que abre para baixo. Para visualizar, imagine uma tigela invertida formando um teto sobre o plano .
Passo 3
Para encontrar o volume entre essas superfícies, precisamos determinar a região de integração no plano . Isso acontece onde as duas superfícies se interceptam. Então, vamos igualar a :
Isso nos mostra que a projeção da região no plano é um círculo de raio .
Passo 4
Agora, configuramos a integral dupla para calcular o volume. Em coordenadas cartesianas, a integral será:
Onde é o círculo .
Passo 5
Para facilitar a integração, é mais conveniente mudar para coordenadas polares. Lembrando que e , e o elemento de área . A equação do círculo fica , então varia de 0 a e de 0 a .