Integrar as equações diferenciais
x y^prime prime-y^prime=x^2 e^x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem x y'' - y' = x^2 e^x. O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis, e vamos usar a técnica de redução de ordem, transformando em uma equação de primeira ordem para a derivada de y.

Passo 2

Primeiro, dividimos toda a equação por x (assumindo xneq0) para obter a forma padrão:
y'' - 1xy' = x e^x

Passo 3

Fazendo a substituição v = y', temos v' = y''. Assim a equação vira uma equação linear de primeira ordem em v:
v' - 1xv = x e^x

Passo 4

Para resolver v' - tfrac1xv = x e^x, calculamos o fator integrante:
mu(x) = e^integral -1xdx = x^-1
Multiplicando a equação por x^-1
ddxl(x^-1vr) = e^x
Integrando ambos os lados:
x^-1v = integral e^x dx = e^x + C1,
logo
v = x e^x + C1 x

Passo 5

Agora voltamos a y integrando v = y':
y = integral v,dx = integral x e^x dx + C1integral x,dx + C2
Pela integração por partes,
integral x e^x dx = x e^x - integral e^x dx = (x-1)e^x
Logo
y = (x-1)e^x + C12x^2 + C2

Resposta

A solução geral é y(x) = (x-1)e^x + C12x^2 + C2, onde C1 e C2 são constantes de integração.

Exercícios relacionados