Integrar as equações diferenciais
(y^prime prime)^2+(y^prime)^2=a^2

Passo 1

O enunciado pede para integrar a equação diferencial de segunda ordem cuja combinação quadrática das derivadas satisfaz
(y'')^2 + (y')^2 = a^2
O conteúdo envolve redução de ordem usando a substituição de p = y' e resolução de uma EDO de primeira ordem.

Passo 2

Definimos p(x) = y'(x). Então
dpdx = y''(x)
e a equação original vira
l(dpdxr)^2 + p^2 = a^2

Passo 3

Isolamos dpdx em função de p:
dpdx = pmraiza^2 - p^2
Aqui usamos a ideia de separar variáveis numa EDO de primeira ordem.

Passo 4

Separamos variáveis e integramos:
integral dpraiza^2 - p^2 = pm integral dx
Pela integral padrão, obtemos:
arcsinl(tfrac p ar) = pm x + C1

Passo 5

Resolvemos para p:
p a = sin(pm x + C1) Longrightarrow p = asin(x + C2),
onde absorvemos o sinal pm e o deslocamento C1 em uma nova constante C2.

Passo 6

Voltamos a y' = p e integramos para achar y:
y(x) = integral asin(x + C2),dx = -acos(x + C2) + C3,
sendo C3 a segunda constante de integração.

Passo 7

Como os parâmetros C2 e C3 são arbitrários, podemos renomeá-los. A forma geral da solução fica:
y(x) = Acos(x + varphi) + B,
com A = -a ou A = a dependendo do sinal, e B,varphi constantes.

Passo 8

Pronto! Temos a família de curvas cuja soma dos quadrados das derivadas é constante igual a a^2.

Resposta

A solução geral é
y(x)= -a cos(x+ C_2) + C_3,
ou, renomeando constantes,
y(x)=A cos(x+φ)+B,
com |A|=a e B,φ constantes arbitrárias.

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