Integrar as equações diferenciais
Passo 1
O enunciado pede para integrar a equação diferencial de segunda ordem cuja combinação quadrática das derivadas satisfaz
O conteúdo envolve redução de ordem usando a substituição de
e resolução de uma EDO de primeira ordem.
Passo 2
Definimos
. Então
e a equação original vira
Passo 3
Isolamos
em função de
:
Aqui usamos a ideia de separar variáveis numa EDO de primeira ordem.
Passo 4
Separamos variáveis e integramos:
Pela integral padrão, obtemos:
Passo 5
Resolvemos para
:
onde absorvemos o sinal
e o deslocamento
em uma nova constante
.
Passo 6
Voltamos a
e integramos para achar
:
sendo
a segunda constante de integração.
Passo 7
Como os parâmetros
e
são arbitrários, podemos renomeá-los. A forma geral da solução fica:
com
ou
dependendo do sinal, e
constantes.
Passo 8
Pronto! Temos a família de curvas cuja soma dos quadrados das derivadas é constante igual a
.
Resposta
A solução geral é
y(x)= -a cos(x+ C_2) + C_3,
ou, renomeando constantes,
y(x)=A cos(x+φ)+B,
com |A|=a e B,φ constantes arbitrárias.
y(x)= -a cos(x+ C_2) + C_3,
ou, renomeando constantes,
y(x)=A cos(x+φ)+B,
com |A|=a e B,φ constantes arbitrárias.