Determinar as trajetórias ortogonais às curvas.
y^2=x^32 a-x (cissóide)

Passo 1

O enunciado pede para achar as trajetórias ortogonais ao sistema de curvas dado por y^2=x^32a - x (cissóide). O conteúdo principal é construção de equação diferencial implícita, eliminação do parâmetro a, e resolução da equação diferencial das ortogonais.

Passo 2

Começamos diferenciando implicitamente y^2(2a - x)=x^3. Derivando em relação a x e simplificando usando 2a - x=tfracx^3y^2, obtemos
2y,y'(2a - x)-y^2=3x^2
Substituindo 2a - x=tfracx^3y^2 resulta em
y'=3x^2+y^22y(2a - x)=y(3x^2+y^2)2x^3

Passo 3

Como trajetórias ortogonais têm declive igual ao negativo recíproco, definimos
$$
\frac{dy}{dx}\bigg|_{orto}=-\frac{1}{y

Resposta

As trajetórias ortogonais são dadas pela família (x^2+y^2)^2=C,(y^2+2x^2), onde C é constante de integração.

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