Determinar as trajetórias ortogonais às curvas.
(cissóide)
Passo 1
O enunciado pede para achar as trajetórias ortogonais ao sistema de curvas dado por
(cissóide). O conteúdo principal é construção de equação diferencial implícita, eliminação do parâmetro
, e resolução da equação diferencial das ortogonais.
Passo 2
Começamos diferenciando implicitamente
. Derivando em relação a
e simplificando usando
, obtemos
Substituindo
resulta em
Passo 3
Como trajetórias ortogonais têm declive igual ao negativo recíproco, definimos
$$
\frac{dy}{dx}\bigg|_{orto}=-\frac{1}{y
\frac{dy}{dx}\bigg|_{orto}=-\frac{1}{y
Resposta
As trajetórias ortogonais são dadas pela família
, onde
é constante de integração.