- Calcular o volume do sólido de revolução gerado em torno do eixo dado:
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a região do plano delimitada por
,
e
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Curva lateral:
. - Limites em
: e . - Eixo de revolução: eixo
(ou seja, rotação em torno da reta ).
O que se pede: calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.
Passo 2
Qual método usar? Quando o eixo de revolução é o eixo
e a região é descrita como
em função de
, o método mais direto é o dos discos (ou “washers”): cortar o sólido por fatias finas perpendiculares ao eixo
(cada fatia é um disco de raio igual à distância do eixo
até a curva). Outra opção seria o método das cascas cilíndricas, mas ele exigiria integrar em
e aqui trabalhar em
fica mais simples. Vou usar discos.
Passo 3
Fórmula do método dos discos (explicada): se a seção perpendicular ao eixo
em uma altura
é um disco de raio
(medido desde o eixo até a fronteira externa), então o volume é
Aqui: o eixo é
(ou seja
é o eixo). A fronteira externa da região é
, e não há buraco no meio (o eixo
é também a fronteira interna), portanto o raio do disco é
Passo 4
Montando o integral com os limites
a
:
Agora faço uma simplificação do integrando:
. Então
Passo 5
Regra de integração (aula rápida): para
,
Aqui
, então
e dividir por
equivale a multiplicar por
. Aplicando a regra:
Passo 6
Avalio a primitiva nos limites:
Multiplicando pelo fator
que estava fora do integral,
Bom trabalho! Esse é um resultado simples — lembra que sempre que a função estiver em forma
e rolar uma rotação em torno do eixo
, o método dos discos costuma ser a escolha natural.