1. Calcular o volume do sólido de revolução gerado em torno do eixo dado:
x=\sqrt[3]{y}, y=0, y=1(\text { eixo } y)

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região do plano delimitada por x=\sqrt[3]{y}, y=0 e y=1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Curva lateral: x=\sqrt[3]{y}.
  • Limites em y: y=0 e y=1.
  • Eixo de revolução: eixo y (ou seja, rotação em torno da reta x=0).
    O que se pede: calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.

Passo 2

Qual método usar? Quando o eixo de revolução é o eixo y e a região é descrita como x em função de y, o método mais direto é o dos discos (ou “washers”): cortar o sólido por fatias finas perpendiculares ao eixo y (cada fatia é um disco de raio igual à distância do eixo y até a curva). Outra opção seria o método das cascas cilíndricas, mas ele exigiria integrar em x e aqui trabalhar em y fica mais simples. Vou usar discos.

Passo 3

Fórmula do método dos discos (explicada): se a seção perpendicular ao eixo y em uma altura y é um disco de raio R(y) (medido desde o eixo até a fronteira externa), então o volume é
V=\int_{y=a}^{y=b} \pi\big(R(y)\big)^{2}\,dy.
Aqui: o eixo é y (ou seja x=0 é o eixo). A fronteira externa da região é x=\sqrt[3]{y}, e não há buraco no meio (o eixo y é também a fronteira interna), portanto o raio do disco é
R(y)=x=\sqrt[3]{y}.

Passo 4

Montando o integral com os limites y=0 a y=1:
V=\int_{0}^{1}\pi\big(\sqrt[3]{y}\big)^{2}\,dy.
Agora faço uma simplificação do integrando: \big(\sqrt[3]{y}\big)^{2}=\big(y^{1/3}\big)^{2}=y^{2/3}. Então
V=\pi\int_{0}^{1} y^{2/3}\,dy.

Passo 5

Regra de integração (aula rápida): para n\neq -1,
\int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{2}{3}, então n+1=\tfrac{5}{3} e dividir por n+1 equivale a multiplicar por \tfrac{3}{5}. Aplicando a regra:
\int_{0}^{1} y^{2/3}\,dy=\left[\frac{y^{5/3}}{5/3}\right]_{0}^{1}=\left[\frac{3}{5}y^{5/3}\right]_{0}^{1}.

Passo 6

Avalio a primitiva nos limites:
\left[\frac{3}{5}y^{5/3}\right]_{0}^{1}=\frac{3}{5}\big(1^{5/3}-0^{5/3}\big)=\frac{3}{5}(1-0)=\frac{3}{5}.
Multiplicando pelo fator \pi que estava fora do integral,
V=\pi\cdot\frac{3}{5}=\frac{3\pi}{5}.
Bom trabalho! Esse é um resultado simples — lembra que sempre que a função estiver em forma x=f(y) e rolar uma rotação em torno do eixo y, o método dos discos costuma ser a escolha natural.

Resposta

\displaystyle \frac{3\pi}{5}

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