Determine as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função dada. Informações fornecidas:
A tarefa é encontrar
, a derivada de
em função de
.
Passo 2
O que é derivada, numa boa explicação rápida: a derivada de uma função em cada ponto nos diz a inclinação (o “declive”) da reta tangente à curva naquele ponto — ou seja, como a função muda quando
muda. Para calcular derivadas de polinômios usamos regras muito práticas que vou listar e explicar.
Passo 3
Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Isso significa que, se
, então . - Regra do fator constante: se temos uma constante
multiplicando uma função, . Ou seja, pode tirar a constante. - Regra do poder (power rule): para
com número real, a derivada é
Aqui
é o expoente e
é a variável; aplicamos isso a potências de
.
Passo 4
Vamos aplicar termo a termo pelo princípio da soma. Primeiro termo:
.
- Tome
. Pela regra do poder, . - Como o termo é
vezes , pela regra do fator constante a derivada é .
Portanto a derivada do primeiro termo é
Passo 5
Segundo termo:
.
- Aqui temos constante
multiplicando . - Derivada de
pela regra do poder é . - Aplicando o fator constante:
.
Portanto
Passo 6
Terceiro termo:
.
- Constante sem
. A derivada de uma constante é zero porque uma função constante não muda quando varia.
Logo
Passo 7
Agora somamos as derivadas de cada termo (regra da soma):
Podemos também fatorar para uma forma mais compacta, tirando fator comum
: