Determine as derivadas das funções abaixo:
f(x)=-x^{3}-3 x^{2}+6

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função dada. Informações fornecidas:
f(x) = -x^{3} - 3x^{2} + 6.
A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

O que é derivada, numa boa explicação rápida: a derivada de uma função em cada ponto nos diz a inclinação (o “declive”) da reta tangente à curva naquele ponto — ou seja, como a função muda quando x muda. Para calcular derivadas de polinômios usamos regras muito práticas que vou listar e explicar.

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Isso significa que, se h(x)=u(x)+v(x), então h'(x)=u'(x)+v'(x).
  • Regra do fator constante: se temos uma constante c multiplicando uma função, (c\cdot u(x))' = c\cdot u'(x). Ou seja, pode tirar a constante.
  • Regra do poder (power rule): para u(x)=x^{n} com n número real, a derivada é
u'(x)=n x^{n-1}.
Aqui n é o expoente e x é a variável; aplicamos isso a potências de x.

Passo 4

Vamos aplicar termo a termo pelo princípio da soma. Primeiro termo: -x^{3}.
  • Tome u(x)=x^{3}. Pela regra do poder, u'(x)=3x^{2}.
  • Como o termo é -1 vezes u(x), pela regra do fator constante a derivada é -1\cdot 3x^{2}.
    Portanto a derivada do primeiro termo é
\text{deriv}\big(-x^{3}\big) = -3x^{2}.

Passo 5

Segundo termo: -3x^{2}.
  • Aqui temos constante c=-3 multiplicando x^{2}.
  • Derivada de x^{2} pela regra do poder é 2x.
  • Aplicando o fator constante: -3\cdot 2x = -6x.
    Portanto
\text{deriv}\big(-3x^{2}\big) = -6x.

Passo 6

Terceiro termo: 6.
  • Constante sem x. A derivada de uma constante é zero porque uma função constante não muda quando x varia.
    Logo
\text{deriv}(6) = 0.

Passo 7

Agora somamos as derivadas de cada termo (regra da soma):
f'(x) = -3x^{2} + (-6x) + 0 = -3x^{2} - 6x.
Podemos também fatorar para uma forma mais compacta, tirando fator comum -3x:
f'(x) = -3x(x+2).

Resposta

f'(x) = -3x^{2} - 6x = -3x(x+2)

Exercícios relacionados