Calcular a seguinte integral definida:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - A tarefa é encontrar o valor numérico da integral definida acima.
Passo 2
Estratégia de simplificação (substituição): é comum, quando temos uma expressão do tipo
, fazer a substituição
para transformar a integral numa forma mais simples em
. Aqui explico por que isso ajuda: a expressão que está elevada a uma potência fica apenas
, e o diferencial
é convertido em
por meio da derivada de
.
Passo 3
Calcular
e
em função um do outro:
Logo,
Passo 4
Trocar os limites de integração para a variável
:
- Quando
, temos . - Quando
, temos .
Portanto a integral emse transforma em integral em :
Passo 5
Aplicar a regra de potência para antiderivadas: para
,
Aqui
, então
. Assim a antiderivada de
é
Voltando ao fator
que estava fora da integral, obtemos a primitiva da função integrada:
Passo 6
Avaliar a primitiva nos limites
e
: