Calcular a seguinte integral definida:
\int_{0}^{4}(2 x+1)^{-\frac{1}{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{4}(2 x+1)^{-\frac{1}{2}}\,d x.
Informações dadas:
  • O integrando é (2 x+1)^{-\frac{1}{2}}.
  • Os limites de integração são x=0 (inferior) e x=4 (superior).
  • A tarefa é encontrar o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Estratégia de simplificação (substituição): é comum, quando temos uma expressão do tipo (a x+b)^{m}, fazer a substituição
u = 2x+1,
para transformar a integral numa forma mais simples em u. Aqui explico por que isso ajuda: a expressão que está elevada a uma potência fica apenas u^{m}, e o diferencial d x é convertido em d u por meio da derivada de u.

Passo 3

Calcular d u e d x em função um do outro:
u = 2x+1 \quad\Rightarrow\quad \frac{d u}{d x}=2 \quad\Rightarrow\quad d u = 2\,d x.
Logo,
d x = \frac{d u}{2}.

Passo 4

Trocar os limites de integração para a variável u:
  • Quando x=0, temos u=2\cdot 0+1=1.
  • Quando x=4, temos u=2\cdot 4+1=9.
    Portanto a integral em x se transforma em integral em u:
\int_{0}^{4}(2 x+1)^{-\frac{1}{2}}\,d x = \int_{1}^{9} u^{-\frac{1}{2}}\cdot\frac{d u}{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{9} u^{-\frac{1}{2}}\,d u.

Passo 5

Aplicar a regra de potência para antiderivadas: para n\neq -1,
\int u^{n}\,d u = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-\tfrac{1}{2}, então n+1=\tfrac{1}{2}. Assim a antiderivada de u^{-\frac{1}{2}} é
\int u^{-\frac{1}{2}}\,d u = \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\tfrac{1}{2}} = 2\,u^{\frac{1}{2}}.
Voltando ao fator \tfrac{1}{2} que estava fora da integral, obtemos a primitiva da função integrada:
\frac{1}{2}\cdot 2\,u^{\frac{1}{2}} = u^{\frac{1}{2}}.

Passo 6

Avaliar a primitiva nos limites u=1 e u=9:
\left. u^{\frac{1}{2}}\right|_{1}^{9} = \sqrt{9}-\sqrt{1} = 3-1.

Resposta

2

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