Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas:
z=1-x^2, z=0, x+y=4 e y=0;

Passo 1

Beleza, então o exercício pede para a gente achar o volume do sólido limitado por quatro “paredes” no espaço:
  1. A superfície de cima é V = integral duplaR l(1 - x^2r),dA .
  2. A de baixo é o plano .
  3. Tem ainda a reta-plano e o plano .
Conteúdo: é um problema de cálculo de volume por integral dupla. A ideia é projetar tudo no plano , achar a região que a base do sólido ocupa, e depois fazer
Vamos precisar de:
  • Saber que volume sob uma superfície é .
  • Determinar direitinho os limites de integração em e .

Passo 2

Primeiro a projeção V = integralx=-1^1 !!integraly=0^4-x (1 - x^2),dy,dx no plano . As condições são:
  • implica , ou seja .
  • Entre e então .
Logo a integral fica

Passo 3

Agora integramos primeiro em integraly=0^4-x (1 - x^2),dy = (1 - x^2),l[yr]0^4-x = (1 - x^2),(4 - x) , lembrando que é constante em :

Passo 4

Fica só integrar em V = integral-1^1 (1 - x^2)(4 - x),dx = integral-1^1 l(4 - x - 4x^2 + x^3r),dx :
V = 8 + 0 - tfrac83 + 0 = 8 - tfrac83 = tfrac163
Termo a termo:
  • .
  • (é função ímpar).
  • (também ímpar).
Somando:

Resposta

O volume do sólido é .

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