Calcular y^prime :
sen(x y)=x^2-y,

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação implícita
sin(xy)=x^2-y.
O conteúdo é derivação implícita, onde vamos usar a regra da cadeia para sin(u) e a regra do produto para u=xy.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, pela regra da cadeia:
ddxsin(xy)=cos(xy)cdotddx(xy)
No lado direito,
ddx(x^2-y)=2x - y'

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto em ddx(xy). Temos
ddx(xy)=xdydx+yddxx=x,y'+y

Passo 4

Substituindo na derivada da equação inicial:
cos(xy),(x,y'+y)=2x - y'

Passo 5

Expandindo o produto, fica
xcos(xy),y'+ycos(xy)=2x - y'
Passando -y' para o lado esquerdo e ycos(xy) para o direito, obtemos
xcos(xy),y'+y' = 2x - ycos(xy)
Fatorando y':
y'l(xcos(xy)+1r)=2x - ycos(xy)

Passo 6

Isolando y' ao dividir por (xcos(xy)+1), resulta
y'=2x - ycos(xy)1 + xcos(xy)

Resposta

y'=2x - ycos(xy)1 + xcos(xy)

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