Questão 5: Considere a função:
f(x)=x^44-2 x^33-3 x^22
Determine os valores x max e x min para os quais ocorrem o máximo global e o mínimo global da função f(x) no intervalo [-2,4].

Passo 1

O enunciado pede para achar o máximo global e o mínimo global da função
f(x)=x^44-2x^33-3x^22
no intervalo [-2,4].
Conteúdo: extremos globais em intervalo fechado. Vamos usar que em intervalo fechado as candidatas são os pontos críticos (onde f'(x)=0) e as extremidades x=-2 e x=4.

Passo 2

Calcular a derivada e encontrar pontos críticos:
f'(x)=ddxl(x^44-2x^33-3x^22r) = x^3-2x^2-3x
Fatorando,
f'(x)=x,(x^2-2x-3)=x,(x-3),(x+1),
logo os pontos críticos são x=-1, x=0 e x=3.

Passo 3

Avaliar f em x=-2, x=-1, x=0, x=3 e x=4:
f(-2)&=(-2)^44-2(-2)^33-3(-2)^22 =4+163-6=103, f(-1)&=14-2(-1)3-32 =14+23-32 =-712, f(0)&=0, f(3)&=3^44-2cdot3^33-3cdot3^22 = 814-18-272 =-tfrac454=-11,25, f(4)&=4^44-2cdot4^33-3cdot4^22 =64-1283-24=-83approx-2,67

Passo 4

Comparando os valores obtidos vemos que o maior valor de f é
f(-2)=tfrac103,
e o menor é
f(3)=-11,25
Portanto o máximo global ocorre em x=-2 e o mínimo global em x=3.

Resposta

xmax=-2 e xmin=3.

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