Questão 6: Considere a função:
Determine os valores
e
para os quais ocorrem o máximo global e o mínimo global da função
no intervalo
e no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede os extremos globais (máximo e mínimo) da função
em dois intervalos fechados:
e
.
Para achar extremos de funções em intervalos fechados, a gente faz três coisas:
Para achar extremos de funções em intervalos fechados, a gente faz três coisas:
- calcula a derivada
e encontra os pontos críticos onde , - avalia
nesses pontos críticos que estiverem dentro do intervalo, - avalia
nos extremos do intervalo e compara todos os valores para ver quem é maior (máximo) e menor (mínimo).
Passo 2
Vamos calcular a derivada term a term. Primeiro,
Agora, para
, usamos produto:
Somando as duas partes,
Note que dá para fatorar:
Passo 3
Para achar os pontos críticos, resolvemos
Isso ocorre se
, ou se
. Logo
Portanto, os potenciais extremos estão em
e
.
Passo 4
Agora avaliamos
em todos os pontos relevantes de cada intervalo.
Para , consideramos
,
e o extremo
.
Para
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Comparando:
Logo, no intervalo
o mínimo global é em
e o máximo global é em
.
Passo 5
Para
, consideramos
,
e
.
- Em
:
- Em
: já vimos que . - Em
: já vimos que .
Comparando:
Logo, em
o máximo global é em
e o mínimo global é em
.
Resposta
Intervalo
:
,
.
Intervalo
:
,
.