Questão 6: Considere a função:
f(x)=x^22-x+(2-x) e^x
Determine os valores x max e x min para os quais ocorrem o máximo global e o mínimo global da função f(x) no intervalo [0,2] e no intervalo [-2,1].

Passo 1

O enunciado pede os extremos globais (máximo e mínimo) da função
f(x)=x^22-x+(2-x)e^x
em dois intervalos fechados: [0,2] e [-2,1].
Para achar extremos de funções em intervalos fechados, a gente faz três coisas:
  1. calcula a derivada f'(x) e encontra os pontos críticos onde f'(x)=0,
  2. avalia f nesses pontos críticos que estiverem dentro do intervalo,
  3. avalia f nos extremos do intervalo e compara todos os valores para ver quem é maior (máximo) e menor (mínimo).

Passo 2

Vamos calcular a derivada term a term. Primeiro,
ddxl(tfracx^22-xr)=x-1
Agora, para (2-x)e^x, usamos produto:
ddxl((2-x)e^xr)=(2-x),e^x+(-1),e^x=(1-x)e^x
Somando as duas partes,
f'(x)=l(x-1r)+(1-x)e^x
Note que dá para fatorar:
f'(x)=(x-1)l[1-e^xr]

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos
f'(x)=0Longrightarrow (x-1)l[1-e^xr]=0
Isso ocorre se x-1=0, ou se 1-e^x=0. Logo
x=1 ou e^x=1implies x=0
Portanto, os potenciais extremos estão em x=0 e x=1.

Passo 4

Agora avaliamos f em todos os pontos relevantes de cada intervalo.
Para [0,2], consideramos x=0, x=1 e o extremo x=2.
  1. Em x=0:
f(0)=0^22-0+(2-0)e^0=2
  1. Em x=1:
f(1)=1^22-1+(2-1)e^1=-tfrac12+e=e-tfrac12approx2,218
  1. Em x=2:
f(2)=2^22-2+(2-2)e^2=2-2+0=0
Comparando:
f(2)=0, f(0)=2, f(1)=e-tfrac12approx2,218
Logo, no intervalo [0,2] o mínimo global é em x=2 e o máximo global é em x=1.

Passo 5

Para [-2,1], consideramos x=-2, x=0 e x=1.
  1. Em x=-2:
f(-2)=(-2)^22-(-2)+(2-(-2))e^-2 =2+2+4e^-2 =4+4e^-2approx4,541
  1. Em x=0: já vimos que f(0)=2.
  2. Em x=1: já vimos que f(1)=e-tfrac12approx2,218.
    Comparando:
f(-2)approx4,541, f(0)=2, f(1)approx2,218
Logo, em [-2,1] o máximo global é em x=-2 e o mínimo global é em x=0.

Resposta

Intervalo [0,2]:
xmin=2, xmax=1.
Intervalo [-2,1]:
xmin=0, xmax=-2.

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