Calcular y^prime :
x^2 cos y+sen 2 y=x y

Passo 1

O enunciado pede calcular y'=dydx para a equação implícita
x^2cos y + sin(2y) = x,y
O conteúdo envolve derivação implícita, usando regra do produto e regra da cadeia para diferenciar cada termo em x, tratando y como função de x.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x:
O termo x^2cos y gera
ddxl(x^2cos yr) =2xcos y + x^2l(-sin yr),y' =2xcos y - x^2sin y,y'
O termo sin(2y) gera
ddxl(sin(2y)r) =cos(2y)cdotddx(2y) =2cos(2y),y'
Do lado direito, x y pela regra do produto fica
ddx(x,y) =y + x,y'

Passo 3

Igualando as derivadas:
2xcos y - x^2sin y,y' + 2cos(2y),y' ;=; y + x,y'
Agrupando os termos com y' em um lado:
(-x^2sin y + 2cos(2y) - x),y' = y - 2xcos y

Resposta

y' =y - 2xcos y-,x^2sin y + 2cos(2y) - x =2xcos y - yx^2sin y + x - 2cos(2y)

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