Exercício 13. Classifique as funções abaixo em injetora, sobrejetora e bijetora. Justifique:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para verificar se ela é injetora, sobrejetora e, consequentemente, bijetora.
Para isso, vamos usar as definições:
– é injetora se, sempre que
, então
.
– é sobrejetora se, para todo
no contradomínio
, existir
tal que
.
Para isso, vamos usar as definições:
–
–
Passo 2
Verificando injetividade.
A função é periódica de período
, ou seja,
A função
Em particular,
porém
. Logo
com
, o que contradiz a definição de injetividade.
Portanto, não é injetora.
Portanto,
Passo 3
Verificando sobrejetividade.
O valor de para
está contido em
. Ou seja,
O valor de
Como o contradomínio é
e, por exemplo, não existe
tal que
, concluímos que nem todos os
têm uma imagem em
.
Logo, não é sobrejetora.
Logo,
Passo 4
Conclusão sobre bijetividade.
Para ser bijetora, teria de ser simultaneamente injetora e sobrejetora. Como falha em ambos os critérios, não pode ser bijetora.
Para ser bijetora,