Exercício 13. Classifique as funções abaixo em injetora, sobrejetora e bijetora. Justifique:

Passo 1

O enunciado dá a função
fcolon RtoR, f(x)=sin x
e pede para verificar se ela é injetora, sobrejetora e, consequentemente, bijetora.
Para isso, vamos usar as definições:
f é injetora se, sempre que f(x1)=f(x2), então x1 = x2.
f é sobrejetora se, para todo y no contradomínio R, existir xinR tal que f(x)=y.

Passo 2

Verificando injetividade.
A função sin x é periódica de período 2pi, ou seja,
sin(x+2pi k)=sin x forall kinZ
Em particular,
sin(0)=0 e sin(pi)=0,
porém 0neqpi. Logo f(0)=f(pi) com 0neqpi, o que contradiz a definição de injetividade.
Portanto, f não é injetora.

Passo 3

Verificando sobrejetividade.
O valor de sin x para xinR está contido em [-1,1]. Ou seja,
Im(f)=sin xmid xinR=[-1,1]
Como o contradomínio é R e, por exemplo, não existe x tal que sin x=2, concluímos que nem todos os yinR têm uma imagem em R.
Logo, f não é sobrejetora.

Passo 4

Conclusão sobre bijetividade.
Para ser bijetora, f teria de ser simultaneamente injetora e sobrejetora. Como falha em ambos os critérios, não pode ser bijetora.

Resposta

f não é injetora, não é sobrejetora e, portanto, não é bijetora.

Exercícios relacionados