Exercício 13. Classifique as funções abaixo em injetora, sobrejetora e bijetora. Justifique:

Passo 1

O enunciado define a função
fcolon Rlongrightarrow R, f(x)=|x|
e pede para classificá-la em injetora, sobrejetora e bijetora.
Para isso, vamos usar as definições:
f é injetora se, sempre que f(x1)=f(x2), então x1=x2.
f é sobrejetora se, para todo yinR, existe xinR tal que f(x)=y.
f é bijetora se for simultaneamente injetora e sobrejetora.

Passo 2

Teste de injetividade.
Suponha que f seja injetora. Então, de f(x1)=f(x2) deveríamos concluir x1=x2.
Mas note que
f(1)=|1|=1 e f(-1)=|-1|=1
ainda que 1neq -1.
Logo existe par (x1,x2)=(1,-1) com f(x1)=f(x2) e x1neq x2,
portanto f não é injetora.

Passo 3

Teste de sobrejetividade.
Para ser sobrejetora, cada yinR deve ter alguma xinR com |x|=y.
Mas se escolhermos y=-2 (ou qualquer y<0), não existe x real tal que |x|=-2, pois o valor absoluto é sempre >=0.
Logo não há preimagem de números negativos em R,
portanto f não é sobrejetora.

Passo 4

Conclusão.
Como f não é injetora e também não é sobrejetora, ela não pode ser bijetora (que exige ambas as propriedades).

Resposta

A função f(x)=|x| não é injetora, não é sobrejetora e, consequentemente, não é bijetora.

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