Exercício 13. Classifique as funções abaixo em injetora, sobrejetora e bijetora. Justifique:
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para classificá-la em injetora, sobrejetora e bijetora.
Para isso, vamos usar as definições:
– é injetora se, sempre que
, então
.
– é sobrejetora se, para todo
, existe
tal que
.
– é bijetora se for simultaneamente injetora e sobrejetora.
Para isso, vamos usar as definições:
–
–
–
Passo 2
Teste de injetividade.
Suponha que seja injetora. Então, de
deveríamos concluir
.
Mas note que
Suponha que
Mas note que
ainda que
.
Logo existe par com
e
,
portanto não é injetora.
Logo existe par
portanto
Passo 3
Teste de sobrejetividade.
Para ser sobrejetora, cada deve ter alguma
com
.
Mas se escolhermos (ou qualquer
), não existe
real tal que
, pois o valor absoluto é sempre
.
Logo não há preimagem de números negativos em ,
portanto não é sobrejetora.
Para ser sobrejetora, cada
Mas se escolhermos
Logo não há preimagem de números negativos em
portanto
Passo 4
Conclusão.
Como não é injetora e também não é sobrejetora, ela não pode ser bijetora (que exige ambas as propriedades).
Como
Resposta
A função
não é injetora, não é sobrejetora e, consequentemente, não é bijetora.