Derivando a fórmula do ângulo duplo:
\cos 2 x=\cos ^{2} x-\operatorname{sen}^{2} x
obtenha a fórmula do ângulo duplo para a função seno.

Passo 1

O enunciado nos pede para obter a fórmula do ângulo duplo para a função seno, isto é, encontrar \sin(2x) partindo da identidade de ângulo duplo para o cosseno:
\cos(2x)=\cos^2 x - \sin^2 x.
Para isso, vamos usar derivação em relação a x, aplicando as derivadas de \cos x e \sin x e a regra da cadeia.

Passo 2

Derivamos ambos os lados de
\cos(2x)=\cos^2 x - \sin^2 x
em relação a x. No lado esquerdo, aplicamos a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl[\cos(2x)\bigr]=- \sin(2x)\cdot 2 = -2\,\sin(2x).
No lado direito, usamos a regra da potência e a derivada interna:
\frac{d}{dx}\bigl[\cos^2 x\bigr]=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\,\sin x\cos x,
\frac{d}{dx}\bigl[-\sin^2 x\bigr]=-2\sin x\cdot\cos x=-2\,\sin x\cos x.
Logo,
-2\,\sin(2x) = -2\,\sin x\cos x \;+\;(-2\,\sin x\cos x).

Passo 3

Somando os termos do lado direito:
-2\,\sin(2x) = -4\,\sin x\cos x.
Multiplicando ambos os lados por -1 e dividindo por 2, obtemos
\sin(2x)=2\,\sin x\cos x.

Resposta

\sin(2x)=2\,\sin x\cos x

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