Calcular y^{\prime} :
y=\operatorname{sen}^{2}(\cos \sqrt{\operatorname{sen}(\pi x)})

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \operatorname{sen}^{2}\bigl(\cos\bigl(\sqrt{\operatorname{sen}(\pi x)}\bigr)\bigr).
O conteúdo aqui é a regra da cadeia aplicada várias vezes em funções compostas: seno, cosseno, raiz quadrada e a própria composição com \pi x. Vamos querer desmembrar essa composição em etapas para aplicar a derivada de cada parte.

Passo 2

Definimos variáveis intermediárias para cada “camada” da composição:
u_{1} = \pi x,\quad u_{2} = \operatorname{sen}(u_{1}),\quad u_{3} = \sqrt{u_{2}},\quad u_{4} = \cos(u_{3}),\quad u_{5} = \operatorname{sen}(u_{4}),\quad y = u_{5}^{2}.
Assim, y é função de u_{5}, que é função de u_{4}, e assim por diante até u_{1}, que depende de x.

Passo 3

Calculamos a derivada de cada variável em relação à anterior:
\frac{du_{1}}{dx} = \pi, \quad \frac{du_{2}}{du_{1}} = \cos(u_{1}), \quad \frac{du_{3}}{du_{2}} = \frac{1}{2\sqrt{u_{2}}},
\frac{du_{4}}{du_{3}} = -\operatorname{sen}(u_{3}), \quad \frac{du_{5}}{du_{4}} = \cos(u_{4}), \quad \frac{dy}{du_{5}} = 2\,u_{5}.

Passo 4

Pela regra da cadeia,
y' = \frac{dy}{du_{5}} \;\frac{du_{5}}{du_{4}} \;\frac{du_{4}}{du_{3}} \;\frac{du_{3}}{du_{2}} \;\frac{du_{2}}{du_{1}} \;\frac{du_{1}}{dx}.

Passo 5

Substituindo cada parcela e voltando às expressões em x:
y' = \bigl(2\,u_{5}\bigr) \bigl(\cos(u_{4})\bigr) \bigl(-\operatorname{sen}(u_{3})\bigr) \Bigl(\tfrac{1}{2\sqrt{u_{2}}}\Bigr) \bigl(\cos(u_{1})\bigr) \bigl(\pi\bigr).
Como
u_{1} = \pi x,\; u_{2} = \operatorname{sen}(\pi x),\; u_{3} = \sqrt{\operatorname{sen}(\pi x)},\; u_{4} = \cos\bigl(\sqrt{\operatorname{sen}(\pi x)}\bigr),\; u_{5} = \operatorname{sen}\bigl(\cos(\sqrt{\operatorname{sen}(\pi x)})\bigr),
temos
y' = 2\,\operatorname{sen}\bigl(\cos(\sqrt{\operatorname{sen}(\pi x)})\bigr) \cdot\cos\bigl(\cos(\sqrt{\operatorname{sen}(\pi x)})\bigr) \cdot\bigl(-\operatorname{sen}(\sqrt{\operatorname{sen}(\pi x)})\bigr) \cdot\frac{1}{2\sqrt{\operatorname{sen}(\pi x)}} \cdot\cos(\pi x) \cdot\pi.
O 2 no numerador cancela com o 2 do denominador:
y' = -\pi\,\cos(\pi x)\, \frac{\operatorname{sen}\bigl(\cos(\sqrt{\operatorname{sen}(\pi x)})\bigr)\, \cos\bigl(\cos(\sqrt{\operatorname{sen}(\pi x)})\bigr)\, \operatorname{sen}\bigl(\sqrt{\operatorname{sen}(\pi x)}\bigr)} {\sqrt{\operatorname{sen}(\pi x)}}.

Resposta

y' = -\pi\,\cos(\pi x)\, \frac{\operatorname{sen}\bigl(\cos(\sqrt{\operatorname{sen}(\pi x)})\bigr)\, \cos\bigl(\cos(\sqrt{\operatorname{sen}(\pi x)})\bigr)\, \operatorname{sen}\bigl(\sqrt{\operatorname{sen}(\pi x)}\bigr)} {\sqrt{\operatorname{sen}(\pi x)}}.

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