Pela ruptura de um tanque, uma mancha de óleo espalha-se em forma de um disco, cujo raio cresce a uma taxa constante de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{h}. Com que velocidade a área da mancha estará variando quando o raio for \frac{4}{\sqrt{\pi}} m / h ?
(a) 16 \sqrt{\pi} m^{2} / h
(b) 12 \sqrt{\pi} m^{2} / h
(c) 24 \sqrt{\pi} m^{2} / h
(d) 4 \sqrt{\pi} m^{2} / h
(e) 8 \sqrt{\pi} m^{2} / h

Passo 1

O enunciado diz que a mancha de óleo forma um disco cujo raio r(t) cresce à taxa constante
\frac{dr}{dt}=3\\ \mathrm{m/h}.
Queremos saber a velocidade de variação da área A quando
r=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\\ \mathrm{m}.
Para isso usamos a relação clássica
A=\pi r^2.

Passo 2

Como tanto A quanto r dependem de t, diferenciamos em relação a t. Pela regra da cadeia:
\frac{dA}{dt} =\frac{d}{dt}(\pi r^2) =2\pi\,r\,\frac{dr}{dt}.

Passo 3

Basta agora substituir \frac{dr}{dt}=3 e r=\tfrac{4}{\sqrt{\pi}}:
\frac{dA}{dt} =2\pi\cdot\frac{4}{\sqrt{\pi}}\cdot3 =24\pi\,\frac{1}{\sqrt{\pi}} =24\sqrt{\pi}.

Resposta

\,24\sqrt{\pi}\,\mathrm{m}^2/\mathrm{h} (alternativa (c))

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