Calcular y^prime :
y=e^-t(t^2-2 t+2),

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = e^-tl(t^2-2t+2r)
O conteúdo envolvido é a regra do produto (para derivar fcdot g) e a regra da cadeia (para derivar e^-t).

Passo 2

Seja
f(t)=e^-t, g(t)=t^2-2t+2
Pela regra do produto,
y'=f'(t),g(t)+f(t),g'(t)

Passo 3

Calculamos f'(t) usando regra da cadeia:
f'(t)=ddte^-t=e^-tcdot(-1)=-e^-t

Passo 4

Calculamos g'(t) derivando o polinômio:
g'(t)=ddtl(t^2-2t+2r)=2t-2

Passo 5

Substituindo em y'=f'g+fg':
y' = l(-e^-tr)(t^2-2t+2)+e^-t(2t-2)

Passo 6

Fatoramos e^-t:
y' = e^-tl[-(t^2-2t+2)+(2t-2)r]

Passo 7

Simplificamos o que está entre colchetes:
-(t^2-2t+2)+(2t-2) = -t^2+2t-2+2t-2 = -t^2+4t-4

Passo 8

Observamos que -t^2+4t-4 = -(t^2-4t+4)=-(t-2)^2.

Resposta

y' = -,e^-t,(t-2)^2

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