Calcule f x e f y para as seguintes funções:
f(x, y)=4 y^2 e^y+6 x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y)=4y^2e^y+6x^2
em relação a x (denotada por fx) e em relação a y (denotada por fy). Para isso, lembramos que, ao fazer partial/partial x, tratamos y como constante, e vice-versa. Também vamos usar a regra do poder ( d(x^n)/dx = n,x^n-1) e a regra do produto para exponenciais ( (u,v)'=u',v+u,v').

Passo 2

Cálculo de fx:
Ao derivar em relação a x, o termo 4y^2e^y é tratado como constante, pois não depende de x. Já o termo 6x^2 tem derivada dada pela regra do poder. Logo,
partial fpartial x =partialpartial xl(4y^2e^yr) +partialpartial xl(6x^2r) =0+12x =12x

Passo 3

Cálculo de fy:
Ao derivar em relação a y, o termo 6x^2 é constante, pois não depende de y. Para o termo 4y^2e^y usamos a regra do produto, onde
u(y)=4y^2, v(y)=e^y, u'(y)=8y, v'(y)=e^y
Logo,
partialpartial yl(4y^2e^yr) =u'(y),v(y)+u(y),v'(y) =8y,e^y+4y^2,e^y =(8y+4y^2),e^y =4y(2+y),e^y
E como partial(6x^2)/partial y=0, temos
partial fpartial y=(8y+4y^2),e^y=4y(2+y),e^y

Resposta

partial fpartial x(x,y)=12x, partial fpartial y(x,y)=(8y+4y^2),e^y=4y(2+y),e^y

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