Calcular y^prime :
y=(x^2+1)^4(2 x+1)^3(3 x-1)^5

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y=(x^2+1)^4(2x+1)^3(3x-1)^5,
que é um quociente de potências. Para resolver de forma mais direta e evitar produtos e quocientes longos, vamos usar diferenciação logarítmica, que consiste em tomar logaritmo em ambos os lados e depois derivar.

Passo 2

Tomamos logaritmo natural em ambos os lados:
ln y = lnl((x^2+1)^4r) - lnl((2x+1)^3r) - lnl((3x-1)^5r)
Usando a propriedade ln(a^k)=k,ln a, obtemos
ln y = 4ln(x^2+1) ;-; 3ln(2x+1) ;-; 5ln(3x-1)

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo vem y'y, e no direito aplicamos a regra da cadeia:
y'y = 4cdotddxl[ln(x^2+1)r] -3cdotddxl[ln(2x+1)r] -5cdotddxl[ln(3x-1)r]
Como ddx[ln(u)]=u'/u, temos
y'y = 4cdot2xx^2+1 -3cdot22x+1 -5cdot33x-1 = 8xx^2+1 ;-;62x+1 ;-;153x-1

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por y para encontrar y':
y' = y;l(8xx^2+1 - 62x+1 - 153x-1r) = (x^2+1)^4(2x+1)^3(3x-1)^5 ;l(8xx^2+1 - 62x+1 - 153x-1r)
Se quisermos apresentar a forma completamente simplificada, combinamos termos sobre um único denominador e cancelamos fatores, chegando a
y' = -,(17x^2+72x+9),(x^2+1)^3(2x+1)^4,(3x-1)^6

Resposta

y' = -,(17x^2+72x+9),(x^2+1)^3(2x+1)^4,(3x-1)^6

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